王子怡, 蒲志林
(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)
考虑以下带有质量源的广义Cahn-Hilliard方程的渐近性问题
(1)
其中,Ω⊂Rn(n=1,2,3)是边界光滑的有界正则区域,Γ是Ω的边界,f(u)是一对数型函数F的导数,g(u)称为质量源项.
Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程,最初是由Cahn等[1]在研究热力学中2种物质(如合金、聚合物等)之间相互扩散现象时提出来的,后来在描述生物种群竞争与排斥现象[2]、河床迁移过程[3]、固体表面上微滴的扩散[4]等许多现象的研究中也提出了同样的数学模型.
近年来,对Cahn-Hilliard方程的研究已经非常丰富,主要是研究Cahn-Hilliard型方程解的存在唯一性、解的爆破以及全局吸引子存在性[5-8].后来,在一些重要的应用领域提出了带质量源项的Cahn-Hilliard方程(又称带质量源的广义Cahn-Hilliard方程),质量源项g(u)具体不同的形式代表不同的数学模型.例如,在描述二元合金诱导反应生成超导体的模型中,提出了Cahn-Hilliard-Oono方程(简称CHO方程),其中g(u)=αu,α>0.当质量源项是二次函数(g(u)=αu(u-1),α>0)时,该方程能被用来描述伤口愈合和肿瘤增长的模型[9].因此,研究带质量源的Cahn-Hilliard方程模型有着非常重要的现实意义,并且目前已有一些重要的结果：文献[10]研究了具有增值项且在Dirichlet边界条件下的Cahn-Hilliard方程的渐近行为,证明了方程解有耗散半群并且存在指数吸引子;文献[11]研究了Cahn-Hilliard-Oono方程在有限维吸引子方面的渐近行为.
本文研究方程(1)指数吸引子的存在性,在对方程的解做出一系列的先验估计以及能量估计的基础上,得到解的存在唯一性,从而得到解的耗散半群.最后,利用指数吸引子的存在性定理[12-13]证明解半群具有指数吸引子.
本文将在更加一般的条件下研究带质量源的Cahn-Hilliard方程,其中质量源项g满足
非线性项f满足
因为b2q-1和c2p-1都是严格正的常数,所以存在常数c0～c5满足
f′(s)≥-c0,c0≥0,∀s∈R,
(2)
g′(s)≥-c1,c1≥0,∀s∈R,
(3)
c2G(s)-c3≤g(s)s≤c4G(s)-c5,
c2,c3,c4,c5≥0, ∀s∈R,
(4)
|g(s)|≤εG(s)+cε, ∀ε≥0,∀s∈R, (5)
令
H=L2(Ω),V=H1(Ω),
定义〈φ〉是空间平均,即
对(1)式在Ω上积分,得到
(6)
令v=u-〈u〉,将(1)式改写为
(7)
则
(8)
记
λ1=
从而
得到以下先验估计.
定理 3.1假设u0∈H2(Ω),如果u(t,x)是初边值问题(1)的解,则当λ1>c2时,有u(t)∈H2(Ω)并且存在T0>0(充分大)使得当t≥T0+1时,ut∈H1(Ω).
证明将(6)式乘〈u〉得
(9)
根据Hölder不等式得
c‖u‖‖g(u)‖.
因为
所以
‖g‖‖u‖≤c(‖u‖2qL2q(Ω)+1)‖u‖≤
c(‖u‖4qL2q(Ω)+1),
即
(10)
将(1)式与u做内积得
(11)
根据假设条件有
得到
(12)
根据等价范数以及插值不等式
可得
所以
即
(13)
根据Gronwall引理得
‖u(t)‖2≤Q(‖u0‖)e-ct+c′, ∀t≥0.(14)
将(1)式与A2u做内积得
||≤‖g(u)‖‖A2u‖≤
Q(‖u‖
同样地,H1(Ω)⊂L4(Ω)是连续嵌入,所以
Q(‖u‖
因此
即
(15)
(16)
令
则(16)式可以改写成
y′≤Q(y).
假设z是如下常微分方程的解
z′=Q(z),z(0)=y(0),
y(t)≤z(t), ∀t∈[0,T0],
所以
‖u(t)‖H2(Ω)≤Q(‖u0‖H2(Ω)),t≤T0.(17)
(18)
同样地
根据上面的估计以及(18)式,可以得到
Q(‖u0‖H2(Ω)), ∀t≤T0.
(19)
将(19)式在(0,T0)上积分,得
(20)
将原方程对t求导得
(21)
(22)
根据假设条件有
||≤‖g′(u)‖‖v‖‖v‖L∞(Ω)≤
Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖v‖H2(Ω).
同样地
||≤‖Af′(u)v‖‖v‖≤
Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖v‖H2(Ω),
所以
tQ(‖u0‖H2(Ω))‖v‖2+‖v‖2.
(23)
根据(17)、(20)、(23)式以及Gronwall引理可得
对(13)式在(0,t)上积分,可得
(25)
将(21)式乘v并重复上面的方法,可得
Q(‖u‖H2(Ω))‖v‖2.
(26)
根据(24)～(26)式以及Gronwall引理得
‖v‖2≤ectQ(‖u0‖H2(Ω)),
c>0,t≥T0.
(27)
当t≥T0,可以将(1)式改写为
A2u+Af(u)+g(u)=-v,
(28)
将(28)式与u做内积,有
根据(27)式可得
‖Au‖2-c6≤ectQ(‖u0‖H2(Ω))+
(29)
运用不等式
可得
(‖Au‖2+〈u〉2)-c6≤ectQ(‖u0‖H2(Ω))+
c′‖u‖2+>0,
所以
(1--c′)
即
c>0,t≥T0.
(30)
由(17)和(30)式可得
c>0,t≥0.
(31)
对(13)式在(0,1)上积分
存在T∈(0,1)满足
事实上,重复上面的估计可以得到:当
对(13)式在(t,t+1)上积分,并且根据(14)式,当c>0,t≥0时可得
因此,对于每一个t≥1,存在t1∈[t-1,1]满足
(32)
所以,当t=t1+t2,并且t2∈[0,1],根据(31)和(32)式可得
ce
ce
即
‖u(t)‖H2(Ω)≤e-ctQ(‖u0‖H2(Ω))+c′,
c>0,t≥0.
(33)
根据(26)和(33)式,再运用Gronwall引理,可得
c>0,t≥T0.
(34)
将(1)式改写成下面的形式
(35)
其中
当t≥T0时,有
将(35)式与A2u做内积得
(37)
根据(10)、(36)和(37)式可得
‖u‖H4(Ω)≤ectQ(‖u0‖H(Ω)),t≥T0.(38)
当t≥T0时,将(21)式乘Av,有
事实上
||≤Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖Av‖,
Q(‖u0‖
综上
Q(‖u0‖(39)
当t≥T0时,将(26)式在(t-1,t)上积分可得
(40)
根据(39)和(40)式运用Gronwall引理可得
定理 4.1假设u0∈H2(Ω),此时(1)式有唯一解u满足
u(t)∈H2(Ω), ∀t≥0.
证明根据Galerkin方法,利用第3节所得到的类似先验估计可以证明方程(1)解的存在性.下面将证明解的唯一性.假设u1和u2是方程(1)分别关于初值u0,1和u0,2的2个解,并且假设u=u1-u2,u0=u0,1-u0,2,此时有
将(40)式在Ω上积分,可得
(43)
所以
g(u2)-〈g(u1)-g(u2)〉=0.
因此
〈f(u1)-f(u2)〉+A-1(g(u1)-g(u2)-
〈g(u1)-g(u2)〉)=0.
(44)
将(44)式与v做内积可得
(45)
事实上
||=
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖A-1v‖L∞(Ω)‖u‖≤
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2),
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖u‖‖〈u〉‖≤
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).
根据(2)式,有
≥-c0‖u‖2≥
-c0(‖v‖2+〈u〉2).
综上
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).(46)
将(44)式与〈u〉做内积可得
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖u‖|〈u〉|≤
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).
再运用插值不等式
可得
Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖(47)
最后,对(47)式运用Gronwall引理可得
‖u1(t)-u2(t)‖H-1(Ω)≤
‖u0,1-u0,2‖H-1(Ω),c>0,t≥0.
(48)
由此可得,在H-1空间里,解是唯一的并连续依赖于初值.
根据定理4.1,可以得到连续半群
满足
S(0)=I;
S(t+s)=S(t)∘S(s),t,s≥0.
同时,根据(33)式可以推测出半群S(t)在H2(Ω)中是耗散的,即存在一个有界集(也称其为吸收集)B1⊂H2(Ω),满足对于每个有界集B⊂H2(Ω),存在t0=t0(B)≥0满足当t≥t0时,S(t)B⊂B1.
定理 5.1若S(t)是H2(Ω)中的耗散半群,则S(t)具有指数吸引子M⊂B1,其中有界吸收集B1的定义与前面的定义一样.
证明假设(1)式关于初值u0,1、u0,2的2个解分别是u1和u2.再次假设
u=u1-u2,u0=u0,1-u0,2,
此时有
t=
(50)
事实上
这里的常数c只依赖于B1.
‖u‖
‖u2‖
c‖u‖
这里的常数c只依赖于B1.因此
(51)
由此可得
以及
(52)
将(47)式在(0,t)上积分,再根据(48)式可得
这里的常数c和c′只依赖于B1.因此
根据(52)和(54)式,再运用Gronwall引理可得
(55)
(56)
这里的常数c只依赖于B1.因此,将(56)式在(0,1)上积分,根据(53)和(54)式可得
ce
(57)
这里的常数c和c′只依赖于B1.
将(49)式在(0,t)上积分,可以得到
(58)
这里的常数c只依赖于B1.
将(49)式与A-1做内积,再对时间求导,可得
(59)
其中
将(59)式与(t-1)θ做内积可得
(60)
事实上
(‖η‖
c(‖ζ‖
根据(27)和(41)式可得
‖ζ′(t)u‖=
‖u‖H1(Ω).
综上
(61)
根据(54)～(55)和(57)～(58)式,以及Gronwall引理可得
∀t>1.
(62)
将(49)式乘A-1可得
〈f(u1)-f(u2)〉+A-1(g(u1)-g(u2)-
〈g(u1)-g(u2)〉)=0.
(63)
可以将(63)式改写为
(64)
其中
〈f(u1)-f(u2)〉-A-1(g(u1)-g(u2)-
〈g(u1)-g(u2)〉).
(65)
事实上
|〈f(u1)-f(u2)〉|+‖g(u1)-g(u2)‖+
|〈g(u1)-g(u2)〉|)≤
(66)
这里的常数c只依赖于B1.
根据(55)、(62)、(66)式以及一致椭圆正则性可得
‖u(t1)-u(t2)‖H2(Ω)≤
c,c′≥0,t>1,
(67)
这里的常数c只依赖于B1.
接下来,研究Hölder估计.事实上,根据(48)式可以证明关于时间是Hölder连续的,可以得到
‖u(t1)-u(t2)‖H-1(Ω)=
(68)
这里的u是(1)式的解.
根据(19)和(34)式容易得到
(69)
所以
‖u(t1)-u(t2)‖H-1(Ω)≤
(70)
这里的常数c只依赖于B1,并且t1,t2∈[0,T].
由文献[12-13]得半群S(t)具有指数吸引子M⊂B1且满足:
1) M在H-1(Ω)中是紧的;
2) M是正不变的,即
S(t)M⊂M, ∀t≥0;
3) M在H-1(Ω)中具有有限的分形维数;
4) M以指数的方式快速吸引H2(Ω)中的有界子集.
最后,根据(48)、(67)和(70)式证得耗散半群S(t)具有指数吸引子.
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