沈 瑶， 王 超， 赵彦珍， 邹建龙， 高昕悦
（西安交通大学电气工程学院，西安 710049）
电磁场与波是电气信息类学生的一门非常重要的专业基础课程。目前，我校为电气工程专业学生在大二下学期开设了电磁场理论课程，共72学时，其中实验为16学时，共7个实验。虽然这7个实验涵盖了电磁场课程全部章节的内容，但仍然只限于简单的验证性实验，始终停留在理论认知阶段，与工程性实验案例相差甚远。多年来的教学实践表明，即便学生掌握了电磁场理论知识和熟悉工程软件的使用步骤，但对如何应用电磁场理论解决实际问题却仍然感到十分迷茫。在面向新工科的未来工程教育培养理念下，强调面向复杂工程问题的实践能力培养，鼓励在教学过程中融入一些专业课程中的案例，实现贯穿全过程的实践能力培养体系，以提升工科本科生的工程能力和工程素质。
由于电磁场概念抽象，场分布无法观察，通过在实验教学中引入计算机辅助分析软件和工程软件，可以使场分布以云图、矢量图及等位线图等直观显示，帮助学生理解电磁场理论，提高实验教学效果。如文献［1］中在电磁场实验教学中引入计算机辅助分析、数值计算和工程软件，化抽象为形象，增强电磁场实验教学效果。文献［2］中借助C#界面设计语言和Ansoft软件自主开发了电磁场实验软件，将理论、实验测量和仿真计算3者相结合，帮助学生建立完整的电磁分析的思维体系。还有一些高校通过信息化手段［3］或依托学科竞赛对实验内容进行改革［4］，将专业知识落实到具体实践中，提升专业知识学习效果，值得借鉴。
本文将以输电线路周围的场分布实验为例，介绍我校结合工程实例和计算机辅助分析，开展电磁场实验教学改革的过程。
1.1 实验任务
如图1所示，设有两根平行带电导线，设A导线电压为220 V，B导线电压为0 V，输电线半径为0.01 m，导线距地面4 m，线间水平距离0.3 m。基本任务：①应用电轴法分析场域内任一点的电位。②借助ANSYS软件求场域内的等位线和电场强度矢量图。提高任务是应用模拟电荷法求场域内任一点的电位和电场强度。
图1 两平行输电线
由于导线半径过小，将导致电轴位置与导线圆心重合，无法应用电轴法，故导线半径并非实际参数，特此说明。实验分为基本和提高两部分，学生在实验课上必须完成基本任务，提高任务可作为开放实验项目或课后练习作业，学生自行完成查阅资料，锻炼自主学习能力和解决问题的能力。
1.2 实验原理
1.2.1 电轴法
图2 应用电轴法求解两平行输电线的场分布
式中：ε0为真空中的介电常数；
R1=和分别为线电荷τ1及其镜像电荷-τ1与K（x，y）点之间的距离；
和R′2=分别为线电荷τ2及其镜像电荷-τ2与K（x，y）点之间的距离。
1.2.2 ANSYS仿真分析
ANSYS Electronics Desktop包含Maxwell 2D/3D，是一个交互式软件包，其功能强大，计算结果精确，包括电场、静磁场、涡流场、瞬态场等分析模块。Maxwell利用有限元方法（FEA）求解电磁问题。本文对两平行输电线采用2D建模，取传输线的二维横截面，并认为输电线无限长，忽略端部效应。
1.2.3 模拟电荷法
模拟电荷法本质上是广义镜像法，基于静电场的唯一性定理［6］，在求解场域外，用一组虚设的离散分布的简单电荷（即模拟电荷）来等效替代电极表面连续分布的电荷，并应用这些模拟电荷的电位或电场强度解析解来计算电场。应用模拟电荷法求解场分布的基本步骤为［7-9］：
（1）定性分析电极和场域，选定模拟电荷的类型、位置和数量。在本文的两平行长直输电线问题中，设每根子导线内部有n个模拟电荷，模拟电荷分布在半径为cr（0＜r＜1）的同心圆周上，两根导线共有2n个模拟电荷，每个模拟电荷的电荷量为Qj（j=1，2，…2n），如图3所示。
图3 模拟电荷示意图
（2）在电极表面设置匹配点，数量与模拟电荷相同。
5.资源节约型、环境友好型社会建设取得重大进展。报告提出：“主体功能区布局基本形成，资源循环利用体系初步建立。单位国内生产总值能源消耗和二氧化碳排放大幅下降，……生态系统稳定性增强”［1］。
（3）根据叠加原理和静电场中计算电位的解析公式，求电位系数矩阵［P］，建立模拟电荷与匹配点电位的线性代数方程组为：
写成矩阵的形式为：
式中，系数矩阵［P］中的元素Pij表示第j个模拟电荷在第i个匹配点上产生的电位系数，［P］称为电位系数矩阵。
（4）解线性方程组式（3），得到模拟电荷［Q］。
（5）在电极表面另外选定电位校验点，对模拟电荷进行校验和必要修正。
（6）利用模拟电荷计算场域内任意一点的电位或电场强度。
求任一点K（x，y）的电位，先根据点的坐标重新计算系数矩阵［P′］，再根据步骤（4）得到的模拟电荷［Q］，则待求点K（x，y）的电位为：
求任一点的电场强度，设模拟电荷的坐标为（Xj，Yj），可根据叠加原理，待求点K（x，y）的电场强度的x和y分量分别为：
由于本实验题目面向电气专业本科大二学生开设，学生专业知识掌握较少，解决问题的能力不强，故教师应从以下几方面进行引导。①电轴法，对于地面上方任意点的电位，先确定电轴位置，再应用镜像法，消除地面影响，然后采用叠加定理求解电位；
②采用ANSYS软件建模时，注意模型简化，由于大地电位为零，且不需要考虑大地下方的场分布，故无需建立大地模型，绘制求解域，设置其底部电位为0，其他边界为Balloon气球边界；
③采用数值计算法—模拟电荷法对该问题进行求解，需要讲解模拟电荷法的原理，模拟电荷、匹配点和校验点等概念，具体编程实现学生可自行查阅资料完成，最后还可对模拟电荷法进行优化，求解最佳模拟电荷数。
3.1 电轴法
应用电轴法求解场域内任意点的电位，可代入点的坐标，利用式（1）计算。现取坐标为（1，1）、（2，2）、（3，3）和（4，4）的4个点，求解结果如表1所示。
表1 理论、仿真和模拟电荷法对比
3.2 ANSYS软件仿真
采用ANSYS软件进行仿真分析的步骤是［12］：①建立Maxwell 2D项目设计文件，采用Cartesian XY（XY平面直角坐标系），Electrostatic静电场求解器，绘图单位为“m”；
②绘制模型，导线用半径为0.01m的圆表示，求解域可通过绘制一个长和宽均为60 m的正方形表示；
③赋予材料属性，导线材料为铝，求解域材料为空气；
④添加激励和边界，A导线激励为220 V，B导线为0 V，求解域下边界电压为0 V，求解域的左、右和上边界为Balloon边界；
⑤设置网格剖分；
⑥求解计算；
⑦后处理查看结果。两平行导线的等位线分布图和电场强度矢量图如图4所示。
图4 两平行输电线电磁场仿真图
3.3 模拟电荷法
根据模拟电荷法求解场分布的基本步骤，采用Matlab语言编程，求解场域内的电位和电场强度。编程流程如图5所示，先定义模拟电荷，模拟电荷的镜像电荷、匹配点和校验点的坐标，然后计算电位系数矩阵，解方程得到模拟电荷［Q］，根据模拟电荷计算校验点的电位，若校验点电位满足要求则计算待求点电位和电场强度，若不满足要求，则应重新设置模拟电荷的位置、个数或类型。
图5 模拟电荷法编程流程
设导线半径为Rd，模拟电荷分布在与导线圆心重合的同心圆周上，模拟电荷所在圆的半径为Rm=0.6Rd［6］，匹配点和校验点均分布在导线的圆周上，且相邻匹配点和校验点间隔30°。导线位置及尺寸参数同前述，A导线上模拟电荷的电位均为220 V，B导线上模拟电荷的电位均为0 V。设校验点上电位的最大误差为±0.01 V。根据以上参数编程，得到导线上校验点电位的最大误差为±3.7 mV，满足要求。
为了验证结果的正确性，取坐标为（1，1），（2，2），（3，3）和（4，4）的4个点，利用ANSYS仿真和模拟电荷法自编程序计算点的电位，将结果记录在表1中。由表可知，电轴法和ANSYS仿真结果的最大误差为1.62%；
模拟电荷法和ANSYS仿真结果的最大误差为0.87%，这说明本文用电轴法、ANSYS仿真建模和模拟电荷法自编程序对两平行输电线的场域求解是正确的。此外，为了检验电场强度的计算结果，在线下距地1 m处50 m范围内定义一条直线，分别采用ANSYS仿真和模拟电荷法求解该直线上的电场强度，结果如图6所示，可见ANSYS仿真和模拟电荷法求解的结果基本吻合，进一步说明ANSYS仿真建模和自编程序是正确的。
图6 线下距地1 m处50 m范围内的电场强度
针对两平行输电线周围的电场分布这一实际问题，采用理论分析、工程软件分析和数值分析的方法进行求解，3种方法互相验证，得到了正确的结果。该实验项目，一方面可锻炼学生应用电磁场理论分析实际问题的能力，使学生充分体会到电磁场理论对求解实际问题的指导意义，提高学生对电磁场理论学习的兴趣；
另一方面，使学生掌握了分析输电线电场分布问题的正确方法，了解了ANSYS仿真建模的步骤和对实际工程的参考价值，初步了解了模拟电荷法。实验方法不仅可以推广至其他电磁场问题的研究，还可对学生后续课程学习打下良好学习基础，为培养新工科人才提供借鉴。