邵 云
（南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171）
匀速转动的水平光滑直管内小球的离心运动是一个十分经典而又基础的力学问题，国内已有众多文献对其进行了介绍并给出了严格的解答[1-5]。但遗憾的是，这些文献仅仅给出了抽象的数学结果，而没有进一步地分析和描述，使得这个经典、形象、生动的力学问题缺失了应有的生机。该问题可叙述如下：如图1所示，内壁光滑的直管在水平面内绕其端点O以匀角速度ω转动，设初始时刻t=0，此时直管位于Ox轴，质量为m的小球相对静止于管内A点→随着直管的转动，小球在离心力的作用下被甩出。设t时刻小球的极坐标为(r,θ)，速度为v，受到管壁的支持力为FN，试求小球沿管的运动规律以及FN。本文将继续深入地讨论该问题，力争为读者提供一个形象而完整的认识。
图1 水平匀速转动光滑直管内小球的离心运动
成立。易知其相对误差在0.19%以下且随θ的增加而快速地趋于0。因此，在直管旋转半圈后，小球的极径r随时间t或极角θ呈指数函数增加，其空间轨迹是与转速ω无关的对数螺线[6]，并且小球的径向与横向速度大小相等。从式（4）、（7）可以看出：空间轨迹的尺度依赖于小球的初始位置a，且与其成正比。
根据质点力学知识，质点在极坐标系中的加速度矢量表示为a=ar er+aθeθ，其中，er、eθ分别为径向、横向单位矢量，ar、aθ则分别为径向、横向加速度分量，
其中，Fr、Fθ分别为质点所受合外力在径向、横向的分力。
由于本文中θ̇=ω为一常量，并且小球在径向不受外力作用，横向受力为FN，因此式（8）、（9）可分别简化为
微分方程式（10）即为式（1），它的严格解为式（2），直管转过半圈后的近似解为式（5）。将式（3）代入式（11），即得直管对小球的横向支持力：
由此可见，此时管壁对小球的支持力FN恰好是离心力mω2r的2倍。则是小球径向动能的增量[参见式（1）]。式（15）与式（16）的量值严格相等，这就决定了小球的横向动能与径向动能终将相等，速度分量亦然。
这里需要说明的是，式（14）～（16）在ω一定的情况下是严格成立的，它们适用于小球的整个运动过程，而与上文θ＞π的设定无关。
由式（7）可见，当直管从初始位置开始转过半圈后，有
可见小球初始的横向动能，对于直管转过半圈后小球的横向动能，已然不构成什么影响。小球初始的横向速度ωa对于转过半圈后小球的横向速度则更不会构成影响（半圈后对速度的影响仅为对动能影响的一半，这其中有个开平方的关系），此时小球的横向与径向速度大小近似严格相等。
若令上文中的a→0，则得小球自极点附近由相对静止开始的离心运动结果，下面举例说明。设a=0.01cm，在直管转过半圈时，有式（5）～（7）成立。当θ=π时，由式（7）得
可见此时小球的离心运动刚刚进入人眼能够观察到的范围。因此，在这里，近似式（5）～（7）要比严格式（2）～（4）更具有现实意义。根据式（4）作出小球的空间轨迹，如图2所示，该轨迹自极坐标(0.12,π)cm起，为一对数螺线，此后小球每绕极点一圈，其极径r将增大e2π≈535倍。
图2 小球自极坐标(0.01,0)开始的离心运动轨迹
若将式（7）代入式（1），则得半圈后小球的离心加速度
它也随角度θ呈指数函数增加，这便是小球做对数螺线离心运动的原因所在。
本文详细研究了绕端点O匀速转动的水平光滑直管内小球自相对静止开始的离心运动，获得严格的运动方程、速度方程和轨迹方程，以及当直管转过半圈后它们的近似表达式。当直管转过半圈后，小球的径向速度vr与横向速度ωr将趋于相等，它们和运动方程r=r(t)一样，都随时间t（或角度θ）呈指数函数增加，此时小球的运动轨迹为一与转速ω无关的对数螺线，且小球受到管壁的横向支持力FN恰为离心力的2倍。FN所做的功严格将其一半转化为小球的横向动能，另一半转化为径向动能。由于FN做的功一般远大于小球的初始动能[见式（18）]，因此当θ＞π时小球的横向与径向动能及速度便能趋于相等。从转动参考系来看，小球的离心力mω2r随角度θ呈指数函数增加[见式（19）]，是小球最终做对数螺线离心运动的原因所在。另外，小球自极点附近位置由相对静止开始的离心运动，因其θ=0～π段的运动极其微小（见图2），故运动轨迹可完全看作对数螺线。
有必要补充的是，倘若小球的初始径向速度vr(0)＞0，则同样易求得小球在管内的相对运动方程为
