邓 巧，丘东元，顾文超，陈艳峰，张 波
（华南理工大学电力学院，广东 广州 510000）
超级电容器是一种新型的储能元件，其电解电极由高表面多孔材料组成，通过极化电解液在电极表面形成双电层来实现储能[1-2]。由于使用多孔电极材料实现较大的表面积与较小的电荷分离距离，故超级电容器能够以较小的体积储存更多电荷[3]，具有功率密度大、充放电时间短、循环寿命长、工作温度范围宽等优点[4]，被广泛用于平抑功率波动[5]、制动能量回收[6]、混合储能[7-8]等场合。
由于超级电容器的储能原理有别于常规介质电容器，其电阻与电容参数不是常数，阻抗特性会随频率发生改变[9-10]。当频率增加时，超级电容器的容抗和电阻减小，且容抗占比减小，电阻占比增大。为了准确表征超级电容器的阻抗特性，研究人员先后建立了多种等效电路模型。其中整数阶模型由若干个固定大小的电阻、电容串并联组合而成[11-13]，元件数量越多，模型越精确，但增大了模型的复杂度[14-15]。研究发现，超级电容器的电流和电压呈分数阶微积分关系[16-17]，故采用分数阶元件的超级电容器等效电路模型[18]被提出。相较于整数阶模型，分数阶模型利用更少的模型参数获得更高的模型精度，且在不同温度和电压下都具有较强的适应性。
为了获取超级电容器分数阶模型的参数，最直接的方法是测量其阻抗频谱[19]。在目标频率范围内，对超级电容器加载不同频率的正弦电压(电流)激励，得到相应的电流(电压)响应信号，并计算出阻抗大小，绘制完整的阻抗频谱。但以上阻抗频谱的测试及获取需要使用专业昂贵的电化学仪器，普通阻抗测量仪的量程无法达到超级电容器的低频范围和容值范围。然而，由于激励信号幅值较小，其参数辨识结果不能准确反映超级电容器在大电流下的实际工作特性[20]。此外，该方法只能在离线条件下进行，随着超级电容器的老化，电容器的内阻增加、容量降低[21]，模型参数也会随之发生改变，利用阻抗谱获得的模型参数将不再适用。
另一种参数辨识方法是对超级电容器进行动态电流(电压)测试[22]，包括混合脉冲功率(hybrid pulse power characterization，HPPC)测试、动态应力测试(dynamic stress test，DST)和行驶工况(federal urban driving schedule，FUDS)测试等。通过采集超级电容器的电压电流数据，在时域内进行波形辨识。由于超级电容器分数阶模型对应的电压电流时域表达式涉及大量的分数阶微积分推导，增加了辨识的难度和复杂度。
为此，本文提出了一种超级电容器分数阶模型的分频段参数辨识方法，根据超级电容器在不同频段的阻抗特性，推导出分数阶模型在不同频段的等效阻抗表达式，实现超级电容器分数阶模型参数的全频段辨识。具体安排如下：第一部分介绍了超级电容器分数阶模型的定义；
第二部分分析了超级电容器在不同频段下的阻抗特性，提出了分数阶模型的分频段等效阻抗表达式，并提供了辨识超级电容分数阶模型参数的流程图；
第三部分搭建了超级电容器的实验测试平台，通过对超级电容器进行几组典型频率的恒流充放电实验，得到对应频率的阻抗参数；
第四部分求解超级电容器的分数阶模型参数，然后对超级电容器进行DST 测试和恒流充放电实验，将分频段辨识法得到的分数阶模型的仿真输出电压与实测电压进行对比，验证了分频段辨识法的有效性和准确性，最后将分频段辨识法与分数阶模型的其他辨识方法进行了分析对比；
第五部分对全文进行了总结。
超级电容器分数阶模型采用分数阶元件描述了超级电容器的动态行为，与整数阶模型相比，分数阶元件能够在阶数上给模型带来额外的自由度，不仅可以提高模型的准确度，而且还能降低模型的复杂度[23-24]。
超级电容器的分数阶模型[18]如图1 所示，由常相位CPE 元件、类Warburg 元件、并联电阻Rp和串联电阻Rs组成。其中，串联电阻Rs用于等效超级电容器电解液和集流体的电阻，常相位CPE 元件的阻抗ZCPE的表达式为[25]：
图1 超级电容器的分数阶模型Fig.1 FOM of supercapacitor
式(1)中，C表示常相位CPE元件的电容系数，ω表示角频率，α表示分数阶阶数。当α=1 时，式(1)表示一个理想的电容器。常相位CPE 元件与表示电荷扩散的传递电阻Rp并联，用于描述电荷的扩散效应，可以代替整数阶等效电路模型中的多级RC网络。
类Warburg元件的阻抗表达式为[26]：
式(2)中，W表示超级电容器的主电容系数，β表示电容量分布阶数。当β=0时，类Warburg元件为电阻；
当β=1 时，类Warburg 元件为电容。类Warburg元件用于描述超级电容器的主电容特性。
根据上述定义，分数阶模型的阻抗表达式为：
式中包含未知参数α、β、Rp、Rs、C、W。根据欧拉公式，虚数的分数阶次表达式为：
将式(4)代入式(3)中，可以得到分数阶模型阻抗实部和虚部的表达式分别为：
式中，Re1表示CPE 元件和Rp并联网络的实部，Re2表示类Warburg元件的实部，Im1表示CPE元件和Rp并联网络的虚部，Im2表示类Warburg 元件的虚部，A=CRpωαcos(απ/2)，B=CRpωαsin(απ/2)。
2.1 不同频段下的阻抗特性
超级电容器的动态行为主要取决于其阻抗特性，典型的超级电容器频率阻抗谱如图2所示。从图中可以看出，超级电容器的阻抗特性在不同频率下呈现不同特性。因此，本文根据超级电容器阻抗特性和分数阶元件特性，按照频段进行划分，提出了不同频段的分数阶模型等效阻抗表达式。
图2 超级电容器的典型阻抗频谱Fig.2 Typical impedance spectroscopies of supercapacitor
（1） 主电容特性频段
由图2(a)可知，在较低频率时，超级电容器特性类似于常规电容器，Nyquist 曲线斜率约为89°[27]。阻抗虚部随频率减小而快速增大，超级电容器的主电容特性完全体现。在图2(b)中，该频段的幅值和相角随频率变化明显，故将该频段称为主电容特性频段，对应的频率约为10 mHz～150 mHz。
在该频段内，主电容特性由分数阶模型的类Warburg元件表示，超级电容器的阻抗虚部可以等效为类Warburg元件的虚部，故阻抗虚部表达式(6)可等效为：
式7 中，ωL为主电容特性频段的角频率，且2π×10 mHz≤ωL≤2π×100 mHz。
当频率接近10 mHz 时，由于频率很小，A、B＜＜1，故阻抗实部表达式(5)可等效为：
式中，ωmin为最小角频率，且ωmin≈2π×10 mHz。
该情况相当于频率极小的输入信号通过由CPE元件和电阻Rp构成的并联网络时，输入信号被CPE元件阻隔，仅从Rp支路通过。
（2） 电荷扩散频段
由图2(a)可知，随着频率的增大，在某一频段上，阻抗曲线的负虚部和实部随频率变化的大小相等，Nyquist曲线斜率约为45°。阻抗虚部和实部都随频率增大而减小，主要表现了超级电容器的电荷扩散效应[28]。在图2(b)中，该频段的幅值和相角随频率变化较小，故将该频段称为电荷扩散频段，对应的频率范围约为300 mHz～100 Hz。在该频段内，超级电容器等效为完整的分数阶模型。
（3） 电阻特性频段
由图2(a)可知，在较高频率时，超级电容器特性类似于纯电阻。由图2(b)可见，该频段的幅值和相角随频率变化几乎为0，故将该频段称为电阻特性频段，对应的频率约≥100 Hz。
在该频段内，电阻特性由分数阶模型的串联电阻Rs元件表示，超级电容器的阻抗实部可以等效为电阻Rs的大小[13]，故阻抗实部表达式(5)可等效为：
式中，ωH为电阻特性频段的角频率，且ωH≥2π×100 Hz。
值得注意的是，本文定义主电容特性频段和电荷扩散频段的过渡频率范围为150 mHz～300 mHz，不同超级电容器的过渡频率范围略有差异，但其阻抗谱仍呈现出主电容特性频段和电荷扩散频段的阻抗特性，在各频段内的相角斜率保持不变[27]。
2.2 参数辨识步骤
恒流充放电是超级电容器常用的储释能方式之一，电流选择范围大，易于实现，在超级电容器的应用场合具有很强的适应性，所以直接使用超级电容器恒流充放电过程的实际时域数据建模具有重要的实际意义[29]。恒流充放电的波形为方波电流信号，将一个充放电周期的方波电流信号加到超级电容器上，超级电容器端电压的变化等于电流基波及各次谐波引起电压变化的叠加。随着次数的增加，谐波对超级电容器的充放电周期和电流幅值都成倍减少，且超级电容器容值很大，短周期内小幅值的电流充放电引起的超级电容器电压变化很小，因此，三次及以上谐波引起的超级电容器电压变化可以忽略不计，即方波电流信号中引起超级电容器电压变化的主要成分为等频率的交流正弦基波。
通过改变对超级电容器充放电的方波电流频率，在前1/2周期恒流充电，后1/2周期恒流放电，根据式(10)的方程组，经电压电流数据可以计算出各交流角频率ω下对应的超级电容器阻抗参数Re(ω)、Im(ω)，代入分数阶模型的等效阻抗表达式，即可求出分数阶模型的未知参数。
式(10)中，Re(ω)为阻抗实部，Im(ω)为阻抗虚部，T为恒流充放电周期，ω为恒流充放电角频率，u0为充放电初始时的超级电容器端电压，uT/2为充电结束时的超级电容器端电压，uT为放电结束时的超级电容器端电压，i为恒流充放电电流。
首先，在主电容特性频段选择几组频率，通过选定频率的恒流充放电测试，计算出相应角频率ωL(2π×10 mHz≤ωL≤2π×100 mHz)下的阻抗虚部Im(ωL)，代入阻抗虚部等效表达式(7)，可以得到以下关系：
式中，分数阶阶数β和主电容系数W是未知参数。通过计算出的几组Im(ωL)，近似求解得到分数阶阶数β和主电容系数W。
其次，在电阻特性频段选择一组频率，通过选定频率的恒流充放电测试，计算出相应角频率ωH(ωH≥2π×100 Hz)的阻抗实部Re(ωH)，代入阻抗实部等效表达式(9)，可以得到以下关系：
式中，电阻Rs是未知参数。通过计算Re(ωH)，得到电阻Rs。
再选取主电容特性频段的最小频率点，通过选定频率的恒流充放电测试，计算出相应角频率ωmin(ωmin≈2π×10 mHz)的阻抗实部Re(ωmin)，代入阻抗实部等效表达式(8)，可以得到以下关系：
式中，电阻Rp是未知参数，分数阶阶数β、主电容系数W和电阻Rs已由式(11)和式(12)解得。通过计算Re(ωmin)，得到电阻Rp。
最后，在电荷扩散频段选择几组频率，通过选定频率的恒流充放电测试，计算出相应角频率ωM(2π×200 mHz≤ωM≤2π×100 Hz)下的阻抗虚部Im(ωM)，代入阻抗虚部表达式(6)。可以得到以下关系：
式中，包含在表达式A和B中分数阶阶数α和CPE 元件电容系数C是未知参数，分数阶阶数β、主电容系数W、电阻Rs和电阻Rp已由式(11)～(13)解得。通过计算出的多组Im(ωM)，近似求解得到分数阶阶数α和CPE元件电容系数C。
上述步骤对应的分数阶模型参数辨识流程图如图3所示。由图可知，各频段的等效阻抗表达式包含了分数阶模型中不同的未知参数，在分步求解过程中，减少了未知参数的个数，从而大大降低了分数阶模型参数辨识的难度。
图3 超级电容器分数阶模型参数辨识流程图Fig.3 Parameters identification flow chart of FOM of supercapacitor
3.1 实验平台
本文设计的实验平台如图4(a)所示，具体包括用于实现充放电功能的可编程电源(Chroma 62150H-1000S ver007)和电子负载(Chroma 63204 V006)，用于采样数据的示波器，用于控制可编程电源启动和处理数据的上位机，用于控制电子负载启动的同步开关等。实验架构如图4(b)所示，可编程电源在上位机命令下启动，通过同步开关同步启动电子负载。电源和电子负载的工作时序互补，前半周期，电源对超级电容器进行恒流充电，电子负载保持零输入状态；
后半周期，超级电容器对电子负载进行恒流放电，电源保持零输出状态。对超级电容进行若干个周期的循环充放电，示波器采集超级电容器的端电压和充放电电流数据，送至上位机进行处理。
图4 辨识超级电容器分数阶模型参数的实验平台Fig.4 Experimental platform for identifying parameters of FOM of supercapacitor
3.2 实验结果
本文选取型号为CHV-2R7307R-TWX-S1 的超级电容器作为研究对象，其额定电压为2.7 V，标称容值为300 F。
根据上一节内容的分析，在各频段内任意选取几组测试频率，实现分数阶模型的全频段辨识。本文选择测试的充放电频率为10.0 mHz、11.1 mHz、16.7 mHz、25.0 mHz、33.3 mHz、50.0 mHz、50.0 Hz、100.0 Hz。若充放电电流较大，当电容电压接近超级电容器额定电压时，难以继续维持恒流充电；
若充放电电流较小，在固定的充放电周期内，超级电容器端电压变化太小。经测试，选取2 A 大小的电流对超级电容器进行多频率恒流充放电实验最佳。不同频率恒流充放电实验部分波形如图6所示，每个频率下进行6次循环测试。
图6 不同频率的恒流(2 A)充放电波形Fig.6 Constant current charge-discharge waveforms of 2 A at different frequencies
通过示波器采样各频率恒流充放电实验的电压电流数据，根据式(10)所示的方程组，计算出不同角频率ω下对应的阻抗参数Re(Z)、Im(Z)。得到的结果如表1所示。
表1 不同充放电频率下的超级电容器阻抗参数Table 1 lmpedance parameters of supercapacitor at different charge-discharge frequencies
4.1 分数阶模型参数辨识
根据图3所示的参数辨识流程，首先将主电容特性频段的6 组阻抗参数Im(ωL)代入式(11)，通过First Optimization软件进行曲线拟合，近似求解分数阶阶数β和主电容系数W，拟合曲线如图5所示，分数阶阶数β和主电容系数W的拟合结果如表2所示；
接着，选取电阻特性频段的1 组阻抗参数Re(ωH)代入式(12)，求解串联电阻Rs；
然后，选取主电容特性频段的最小频率ωmin的阻抗参数Re(ωmin)代入式(13)，求解并联电阻Rp；
最后，选取电荷扩散频段的两个阻抗参数Im(ωM)代入式(14)，求解分数阶阶数α和CPE元件电容系数C。最终得到的参数辨识结果如表3所示。
图5 超级电容器分数阶模型部分参数拟合曲线Fig.5 Fitting curves of partial parameters of FOM of supercapacitor
表2 超级电容器分数阶模型的部分参数拟合结果Table 2 Fitting results of partial parameters of FOM of supercapacitor
表3 超级电容器分数阶模型的参数辨识结果Table 3 Parameters identification results of FOM of supercapacitor
4.2 验证分析
（1） DST动态测试
为验证分频段辨识法求取参数的有效性，利用动态工况DST 测试对超级电容器进行实体测试。DST测试是美国电池测试手册提供的变功率充放电测试序列[22]，如图7 所示。该测试根据车用超级电容在标准循环工况下行驶时的加载情况，模拟了不同功率等级的方波电流序列，可以有效地激励超级电容，获取丰富的测试数据，常用作超级电容器模型参数辨识的测试序列。
图7 DST测试序列图Fig.7 Sequences of DST
将分频段辨识法得到的参数代入到超级电容器分数阶模型中，仿真得到超级电容器在DST 测试下的输出电压，并通过示波器采集超级电容器在DST 测试下的实测电压，仿真结果和实测电压如图8所示。由图可知，在DST测试电流功率等级变化较大时，超级电容器电压误差波动变大。经计算分析，分频段辨识法的输出电压与实测电压平均误差为23.73 mV，最大误差限制在80.30 mV 以内；
平均相对误差为1.52%，最大相对误差限制在4%以内。从而，验证了超级电容器分数阶模型的分频段参数辨识方法的有效性。
图8 分频段辨识法输出电压与DST实测电压Fig.8 Output voltage of proposed method and measured voltage under DST
（2） 恒流充放电测试
为进一步测试辨识出分数阶模型的准确性和适应性，仿真计算出分数阶模型在不同频率恒流充放电实验下的输出电压，并对超级电容器实物进行固定频率的恒流充放电验证实验，仿真电压、实测电压及两者之间的误差电压如图9所示。可见最大误差限制在100 mV 以内，最大相对误差都限制在6%以内，结果表明分频段辨识法求解出的分数阶模型具有较高的准确度和适应性。
图9 分频段辨识法输出电压与恒流充放电实测电压Fig.9 Output voltage of proposed method and measured voltage under constant current charge-discharge
4.3 辨识方法对比分析
最后，将分频段辨识法与其他分数阶模型的辨识方法进行了分析对比，如表4 所示，可以看出，分频段辨识法在保证超级电容器建模精度的基础上，减小了辨识难度，在一般的实验环境下即可实现。
表4 超级电容器分数阶模型辨识方法对比Table 4 ldentification methods comparison for FOM of supercapacitor
本文提出一种超级电容器分数阶模型的分频段参数辨识方法，通过简单的恒流充放电实验即可求解超级电容器分数阶模型参数。该方法的优势在于
（1）根据不同频段，提出了超级电容器分数阶模型的等效阻抗表达式，减少了各阻抗表达式中的未知参数个数，降低了分数阶模型参数的求解难度。
（2）测试方法简单、易实现，无需专业昂贵的电化学阻抗谱测量仪或复杂的动态电流/电压测试，仅需要对超级电容器进行几组典型频率的恒流充放电测试。
（3）相较于整数阶模型，该方法求解出的分数阶模型能够准确地反映超级电容器的特性，保证了模型精度，为开发应用超级电容器提供有效支撑。
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