王 宇，张诗茹，张渝佶，周立群
(天津师范大学数学科学学院，天津 300387)
近年来，神经网络被广泛应用于联想记忆、信号处理、人工智能、优化与控制等领域，这些应用大都要求神经网络是稳定的.但由于在网络运行中时滞的存在不可避免，因此学者一直致力于研究时滞神经网络的各种稳定性[1-3].神经网络在控制器的作用下达到稳定时，称该网络是可镇定的.镇定性也是一种稳定性，学者对时滞神经网络镇定性也进行了深入研究[4-8].
比例时滞是一种客观存在的无界时变时滞，其优点是系统可根据网络所允许的最大时滞去控制网络的运行时间.2011年，周立群[9]将比例时滞引入神经网络，构建了比例时滞神经网络(Proportional Delayed Neural Networks，PDNNs)模型.单调递增的比例时滞函数使得系统时滞具有可控性和可预测性，故许多学者对PDNNs的动力学，尤其是稳定性[10-18](包括镇定性[19-22])进行了众多研究.例如，张保生[1]利用Lyapunov泛函方法、Barbalat引理和平均值不等式讨论了时滞细胞神经网络的稳定性；
Zhou等[21]采用离散控制器，基于Lyapunov函数和LMI方法，获得了PDNNs的全局多项式镇定性和全局渐近镇定性判据.受文献[1,21]的启发，笔者拟针对一类PDNNs，采用状态反馈控制器，在激活函数有界且满足Lipschitz条件下，通过构造适当的Lyapunov泛函，并利用平均值不等式及其分析技巧，研究了该神经网络的全局多项式镇定性和全局渐近镇定性.
考虑如下PDNNs：
(1)
(H1) 在R上有界；
(H2) 满足Lipschitz条件，即存在常数li>0，使得
|fi(ξ)-fi(η)|≤li|ξ-η|ξ,η∈R,i=1,2,…,n.
为了使系统(1)镇定，取控制器ui(t)=-kixi(t)，则系统(1)变为如下闭环系统：
(2)
其中α∈Z+.
注1全局多项式镇定性也是一种全局渐近镇定性，但其收敛速度比一般的全局渐近镇定性的收敛速度快.
引理1[1]若fi(·)(i=1,2,…,n)满足(H1)和(H2)，则系统(2)一定存在平衡点.
引理2[1]若fi(·)(i=1,2,…,n)满足(H1)和(H2)，则系统(2)的所有解在[0,+∞)上均有界.
引理3[1]若ai(i=1,2,…,n)为正数，则
(3)
令zi(t)=xi(et)，则系统(1)和(2)分别变为
和
(4)
注3由定义1易知系统(2)与(4)具有相同的平衡点，即x*=z*.
定理1假设(H1)和(H2)成立，在状态反馈控制器ui(t)=-kixi(t)下，若存在α∈Z+和λ>0，使得
(5)
(6)
构造正定的Lyapunov泛函
其中α∈Z+，λ>0.沿系统(5)计算V(t)的上右Dini导数，由(H2)，可得
(7)
根据平均值不等式(3)，可得
(8)
(9)
将(8)和(9)式代入(7)式，可得
(10)
(10)式蕴含着V(t)≤V(lnt0),且
(11)
进而有
(12)
(13)
(14)
在(14)式中取σ=t，得到
于是由定义(2)可知系统(1)全局多项式镇定到它的平衡点x*.证毕.
定理2假设(H1)和(H2)成立，在控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，若存在α-1∈Z+和λ>0，使得对于i,j=1,2,…,n，有
计算U(t)的右上Dini导数，可得
(15)
根据平均值不等式(3)，可得
(16)
(17)
将(16)和(17)式代入(15)式，可得
(18)
于是U(t)≤U(lnt0),且
(19)
进而有
注4文献[1]中的系统为常时滞的，本研究中的系统为无界时滞的，时滞函数(1-qi)t依赖比例时滞因子qi的大小，因此就时滞函数而言，本研究推广了文献[1]的结果.另外，文献[1]中通过构造Lyapunov泛函、Barbalat引理和平均值不等式，得到的是常时滞神经网络的全局渐近稳定性，本研究中没有使用Barbalat引理，而是通过构造Lyapunov泛函和平均值不等式得到全局多项式镇定性，因此本研究所得结论更优.
定理1与定理2是对系统(1)进行非线性变换zi(t)=xi(et)，在状态反馈控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，得到系统(1)全局多项式镇定到它的平衡点x*.如果不进行该非线性变换，就只能得出系统(1)全局渐近镇定到它的平衡点x*.
定理3假设(H1)和(H2)成立，在控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，若存在α∈Z+，使得
(20)
(21)
显然，平凡解y*=(0,0,…,0)T是系统(21)的平衡点.要证x*是系统(1)的全局渐近镇定的平衡点，只需证y*是系统(21)的全局渐近镇定的平衡点即可.
构造Lyapunov泛函
其中α∈Z+.沿系统(21)的解计算V(t)的上右Dini导数，根据平均值不等式(3)和(H2)，可得
(22)
根据平均值不等式(3)和(22)式，可得
当y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T≠0时，至少存在1个i，使得yi(t)≠0，于是由(20)式可得
因此D+V(t)<0.
当y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T=0,y(qt)=(y1(q1t),y2(q2t),…,yn(qnt))T≠0时，有yi(t)=0(i=1,2,…,n)，于是由(22)式的第1个等号关系，可得
当y(t)=y(qt)=0时,由(22)式的第1个等号关系，可得D+V(t)=0.
综上，当且仅当y(t)=y(qt)=0时，D+V(t)=0，其他情况都有D+V(t)<0.同时，当‖y(t)‖→+∞时，V(t)→+∞，即V(t)是径向无界的，因此系统(1)全局渐近镇定到它的平衡点x*.
定理4假设(H1)和(H2)成立，在控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，若存在α-1∈Z+，使得对于i=1,2,…,n，有
证明构造Lyapunov泛函
其余证明过程类似定理2和定理3.证毕.
注5定理1～4的条件都依赖于比例时滞因子qi(i=1,2,…,n)，因此本研究所得结果均是时滞相关的，能很好地反映出比例时滞因子对系统镇定性的影响.
注6在系统(1)中，当qj=1(j=1,2,…,n)时，本研究所得到结果仍然适用.
例1考虑如下二维比例时滞神经网络：
(23)
图1 无控制器时系统(23)的时间响应曲线Fig. 1 Time Response Curves of System(23)Without Control
情况1当控制器ui(t)=0(i=1,2)时，系统(23)的从不同初值初始的时间响应曲线如图1所示.由图1可以看出，此时系统(23)是不稳定的.
情况2控制器ui(t)=-kixi(t)(k1=1.5,k2=2),e1=2,e2=2.5，取α=2，当i=1,2时，通过计算可得
这满足定理3的条件，因此由定理3可以判断系统(23)全局渐近镇定到它的平衡点(0,0)T.
情况3在情况2的条件下，取λ=1，α=2，当i=1,2时，通过计算可得
由定理1可知，系统(23)的平衡点(0,0)T是全局多项式镇定的.
系统(23)的相图和时间响应曲线分别如图2，3所示.由图2，3可以看出，此时系统(23)是稳定的.
图2 系统(23)的相图Fig. 2 Phase Trajectory of System(23)
图3 系统(23)的时间响应曲线Fig. 3 Time Response Curves of System(23)
例2考虑如下二维比例时滞神经网络：
(24)
情况1当控制器ui(t)=0(i=1,2)时，系统(24)的从(0,1)T初始的相图和时间相应曲线分别如图4，5所示.由图4，5可以看出，此时系统(24)是不稳定的.
图4 无控制器时系统(24)的相图Fig. 4 Phase Trajectory of System(24)Without Control
图5 无控制器时系统(24)的时间响应曲线Fig. 5 Time Response Curves of System(24)Without Control
由定理4可知，系统(24)的平衡点(0,0)T是全局渐近镇定的.
情况3在情况2的条件下，取λ=1，α=2，当i=1,2时，通过计算可得
由定理2可知，系统(24)的平衡点(0,0)T是全局多项式镇定的.
系统(24)的相图和时间响应曲线分别如图6，7所示.由图6，7可以看出，此时系统(24)是稳定的.
图6 系统(24)的相图Fig. 6 Phase Trajectory of System(24)
图7 系统(24)的时间响应曲线Fig. 7 Time Response Curves of System(24)
综上，对于系统(23)和(24)，在控制器ui(t)(i=1,2,…,n)作用下，分别应用定理3和定理4，可得它们平衡点的全局渐近镇定性，分别应用定理1和2，可得它们平衡点的全局多项式镇定性.根据注1，全局多项式镇定性收敛速度快于渐近镇定性，这说明定理1和定理2优于定理3和定理4.
研究了一类比例时滞神经网络的全局多项式镇定性，在状态反馈控制器作用下，通过构造适当的Lyapunov泛函，运用平均值不等式及其分析技巧，获得了保证系统时滞依赖的全局多项式镇定和渐近镇定的充分条件，并通过数值算例检验所得准则的有效性.本研究结果获得了相较全局多项式稳定性、全局渐近稳定性更优的结果，不足之处在于无法控制系统收敛到平衡点的速度.下一步笔者考虑如何让系统收敛的速度可控且尽量加快.
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