浅析最小二乘法在医药制造工业成本的应用

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  摘 要:随着社会需求及技术的不断进步,药品生产的规模也随之不断加大。掌握药品生产成本规律,对药品扩大规模具有积极作用和指导意义。本文从最小二乘法的原理出发,建立生产成本的回归模型,通过实例对药品生产的单耗及总成本进行预测及分析。并得出加权最小二乘法因为消除了异方差的影响,其模型拟合度高于普通最小二乘法。
  关键词:最小二乘法;生产成本;回归模型;预测
  在当今药品生产领域上,随着社会需求及其技术的不断进步,其生产规模也在逐步加大。能否准确把握药品生产成本规律,进而对其成本费用进行控制和预测,对实际生产实现效益最大化有着重要的指导意义。
  根据长期实践生产经验和产量成本数据,我们可以得出,随着产量的增长,其单位成本费用会按照一定的比例不断下降,最终趋于平稳,这叫做熟练曲线。影响熟练曲线的因素很多,如:原材料的消耗,能源消耗,人工费用等等。因此,在建立生产成本费用按生产量变化的非线性数学回归模型:。其中:y为生产量x的成本费用,x为生产量,A,b为模型的回归参数。
  1、最小二乘法基本原理
  在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1.x2,y2... xm,ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程(式1-1)(a0、a1是任意实数)
  为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Yj=a0+a1X)的离差(Yi-Yj)的平方和最小为“优化判据”。
  令:(式1-2)
  当最小时,可用函数 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。
  (式1-3)
  (式1-4)
  得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出:
  (式1-5)
  (式1-6)
  这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是回归的一元线性方程。在回归过程中,回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1. x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于 1 越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于 0 越好。
  2、实例分析(应用spss1.8进行回归分析)
  表1 某种药品生产数据(单位:吨)
  产品产量主要原材料单耗辅助原材料单耗能源单耗单位总成本
  195.728.428.1131.7
  286.322.619.3107.7
  377.518.516.594.7
  480.820.115.897.5
  582.220.015.7102.7
  674.120.715.991.1
  771.519.313.986.0
  868.020.114.785.9
  966.317.912.579.5
  1066.717.611.180.8
  从上表可以看出,主要原材料、辅助原材料和能源的单耗都随着产量的增长而减少,并趋于稳定,它们和产量之间呈现负指数关系。
  我们以主要原材料单耗为例,将非线性问题转化为线性问题。
  设自变量x为产品产量,因变量y为相应的主要原材料单耗。,对此函数进行变换,可得回归公式,lny=lnA+blnx。通过计算可得,lnA= 4.571,b= -0.156,检验得F=66.584>F(0.05)(1,8)=5.32,R=0.945>R(0.05)(8)=0.632,线性关系显著。可得主要原材料单耗回归公式:。同理,可得其余两项单耗与产量的回归公式。(见表2)
  在进行总成本预测时,我们采用了普通最小二乘法(OLS)和加权最小二乘法(WLS),这二种方法分别得到回归模型为:
  普通最小二乘法(OLS)
  Y=1.012X1+0.887X2+0.758X3-12.653
  加权最小二乘法(WLS)
  Y=0.863X1+0.574X2+1.328X3-4.604
  其中:Y为总成本,X1为主要原材料单耗,X2为辅助原材料单耗,X3为能源单耗
  比较二者拟合结果是差异见表3
  OLS拟合值OLS误差WLS拟合值WLS误差
  130.7-1.0131.6-0.1
  109.41.7108.50.8
  94.70.094.80.1
  98.91.497.60.1
  100.2-2.598.7-4.0
  92.71.692.31.2
  87.41.486.60.6
  85.1-0.885.1-0.8
  79.80.379.50.0
  78.9-1.977.8-3.0
  一般来说,在实际生产过程中,生产所需原材料由于批次、质量、价格不同,还有一些误差因素的存在,使得药品总成本存在异方差性,从表3也可以看出,WLS方法误差有7个控制在±1,而OLS仅为3个。因而使用WLS方法比OLS方法能够得到更为准确的预测效果。
  通过表2的预测值,应用OLS和WLS所得的预测模型,可得产量为11吨时,单位总成本为79.3(OLS)和78.7(WLS)。
  这两种预测方法可以推广到诸如药品销售费用的预测,产品价格定位预测等等,同样具有非常积极的意义。
  参考文献:
  [1]计量经济学,李子奈、潘文卿著,第3版,高等教育出版社,2014年
  [2]经济预测与决策,吴仁群著,第1版,中国人民大学出版社,2011年

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