著名教育学家夸美纽斯说过：“知识的开端永远是从感官得来的。” 对于数学中的诸多抽象问题，教师应发挥教学智慧，运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，利用恰当的演示或操作使抽象的数概念转化为具体内容，让学生通过自己的观察�操作�思维等活动逐步建立清晰的表象。尤其重要的是，顺应学生的发展规律和认知特点，充分发挥他们的想象力，为学生创设富有趣味性、探索性的教学情境，让他们积极主动去探索数学的奥妙。下面，我结合课例，谈谈对数学抽象问题的一些解决方法。
一、操作感悟，化抽象为具体
苏霍姆林斯基说过：“手是意识的伟大培育者，又是智慧的创造者。手使脑得到发展，使之更加明智；脑使手得到发展，使之变成思维的工具和镜子。”由此可见，操作启动思维，思维服务于操作。动手操作的过程是手脑配合并用的过程，是促进思维发展的一种有效手段，是学生由具体形象思维向抽象思维过渡的必要条件。在数学课堂上，进行操作感悟，遵循学生动作思维与形象思维的特点，真正实现了智慧在学生的指尖上。
教学案例：“认识11～20”
师：猜一猜，老师手里有多少根小棒？（教师一根一根地摆出小棒，得出有12根小棒）
师：有什么好办法能让我们清楚地看出这里有多少根小棒？（生交流）
生1（边说边演示）：我是把12根小棒6根6根地摆。
生2（辨析）：左边6根，右边6根，还是要数数才知道。我是2根2根地摆的。
生3：我左边摆10根，右边摆2根。
生4：10根小棒摆在一起，也不能一下子看出有10根。
师：是啊！10根小棒这么摆在一起，不数哪知道有10根呢？不过，在数学上，人们已经约定俗成地想到了一个办法，那就是数满10根，把它们合起来捆在一起。（教师边说边将黑板上的10根小棒拿下，绑成一捆）看到这一捆，我们就知道它代表一个十。（学生操作：一起数小棒，数到10个一，就把10根小棒捆起来）
师：这一捆就表示1个几？我们记数时，只有满了10根才能捆起来。我们再检查一下，手里的这一捆是不是一个十。（学生一起解开皮筋，再一根一根地数，得出：10个一合起来就是1个十，1个十也就是十个一……）
师：同学们想一想，13根小棒该怎么摆？
生5： 1捆和3根。
师：为什么要拿1捆和3根？
生6： 1捆就是一个十，一个十再加3个一就是13。
师： 20根小棒又该怎么摆呢？
生7： 10根小棒就是一个十，捆了一捆后，又有了10根，再捆成一捆，这样就有两捆了。
师生总结：一个十再添一个十就是两个十，就是20。
……
小学一年级学生的思维以具体形象思维为主，通过大量的操作活动，能让学生将所学的新知识不断内化到已有的认知结构中。教师通过大量的操作活动，化抽象为具体，突出把十作为一个计数单位，使学生不仅能在10的基础上一个一个地数到20，并且能直观地了解11～20各数都是由一个数和几个十组成的，为进一步学习数位“十位”“个位”以及数的读法和写法做了准备。
二、童话联想，化抽象为情境
苏霍姆林斯基在《把整个心灵献给学生》中指出：“教师要进入童年这个神秘之宫的门，就必须在某种程度上变成一个学生。只有在这种情况下，学生们才不会把你当成一个偶然闯进他们那个世界大门的人，一个对这个世界里发生的一切都无动于衷的看守人。”在数学课堂中运用童话联想，能让教师快速无碍地走进学生的心灵世界。
教学案例：“个位 十位”
师：大家观察自己所写的11～20各数，看看每个数是由几个数组成的？
生：由两个数组成的。
师：我们把这些数叫做两位数。关于两位数，还发生过这样的一个故事呢！
播放动画故事：很久很久以前，数字王国里住着很多数（画面出现一位数、两位数、三位数的家）。有一天，两位数的家里传来了吵架声。（画面切入到两位数家里）噢，原来是11里面的两个1在吵架。一个说：“我大！”另一个也不服气地说：“我才大呢！”两个人争得不可开交，就到数字王国的国王那里去评理。（画面切入国王那里）国王听了他们诉说，灵机一动，想出办法，于是宣布：“从右边起，第一位是个位，第二位是十位。十位上的1表示1个十，个位上的1表示1个一，你们两个记住了没有？”十位上的1说：“记住了，我在十位上，表示1个十；她在个位上，表示1个一 。”自从国王给数字分清了数位以后，数字们再也不吵架了，他们快乐地生活在一起……
师：看了动画后，你们知道了什么？
生：从右边起第一位是个位，第二位是十位。
师：个位上的数字表示几个（ ），十位上的数字表示几个（ ）。为了更好地记数，人们发明了计数器。（出示计数器）从右面起第一位是什么位？第二位呢？十位上的一个珠子表示一个（ ），个位上的一个珠子表示一个（ ）。如果要在计数器上表示13，应该怎样拨珠子？先想，再动手拨。（学生热情飞扬地动手拨珠子）
对新鲜事物充满好奇是儿童的天性。教师在教学中充分地利用多媒体，把抽象的“数位”知识融入生动有趣的动画情境中，不仅能够激发学生学习的兴趣，更能化抽象为形象，使学生对数位的理解更加深刻。
三、直观图像，化抽象为直观
夸美纽斯说过：“知识的开端永远是从感官得来的。”由此可见，利用直观图像进行教学，对于学生理解较为抽象的知识是非常有效的。例如，在教学“认识倍数”时，教师出示课件：小兔跳格子，每次跳三格。
师：你们能把小兔每次跳到的地方找出来吗？（学生兴趣盎然地看数轴回答）
师：观察这些数，有什么特点？每个数和小兔跳的格数3有什么关系？
生：这些数都是3的倍数。（师根据生的回答，分别写上3×1、3×2、3×3……）
师：再来看看小狗是怎么跳的。（课件演示：小狗每次跳4格）你能找到小狗每次跳到的地方吗？（学生热情高扬地看图回答）
师（根据学生的回答，板书：4、8、12、16……）：这些数又有什么特点？每个数和小狗跳的格数4有什么关系？你能给这些数取个名字吗？
生：4的倍数。
师：想一想，用这样的方法你能找出哪个数的倍数吗？你能不看图就把这些数找出来吗？
生：自己确定一个数，再依次写出这个数的倍数。
……
又如，教学“认识因数”时，教师出示课件：小猪正在玩拼图形的游戏。
师：用12个同样大的小正方形拼成长方形，有哪些不同的拼法？（学生积极思考，想象各种拼法）
师（组织学生交流）：说说你想到的拼法。
（学生回答，教师根据学生的回答，课件演示各种拼法的图形，并用乘法算式表示，即3×4＝12、2×6＝12、1×12＝12；教师请学生观察这些算式，并让其说明等号左边的数和等号右边的数有什么关系，学生说明这些数都是12的因数）
师：如果用15个小正方体来拼，又有哪几种不同的拼法？从中你能找出15的所有因数吗？（学生积极想象各种拼法，在自己本子上写出算式，再完整地写出15的所有因数）
师：如果不拼图，你能找出一个数的因数吗？试一试：16的因数有哪些？36的因数有哪些？
……
“倍数和因数”是比较抽象的数学概念，在现实生活中比较难找到它们的影子。因此，教师通过创设跳格子和拼图形的游戏情境，让学生借助直观的图像初步感受“倍数和因数”的特点。在此基础上，教师通过组织学生进一步进行观察、分析，引导学生透过现象看本质，帮助学生更好地理解“倍数和因数”的本质特征。这样不仅能激发学生的学习兴趣，而且也符合概念学习从具体到抽象的一般规律，能够帮助学生在建立表象的基础上更好地理解概念。
四、数形结合，化抽象为形象
“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助教”“以数解形”（即通过抽象思维与形象思维的结合），使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
教学案例：“分数乘法”
师：要粉刷一面墙壁（出示墙壁的画面），如果工人每小时粉刷这面墙的，可以提出什么问题？
生1：4小时可以粉刷这面墙的几分之几？（列式解答：×4＝）
师：那么，小时可以粉刷这面墙的几分之几？怎样列式？
生1：我们已经知道4小时可以粉刷这面墙的几分之几用×4， 小时可以粉刷这面墙的几分之几就是求的是多少，算式可以列为×。
师：说得很对。那么，怎样计算×呢？下面，我们一起探讨分数乘分数的计算方法。大家拿出准备好的长方形纸，用它表示这面墙，先涂出1小时粉刷的面积，应该涂出这张纸的几分之几？（学生积极动手操作）
师：求小时可以粉刷这面墙的几分之几，就是求的是多少。小组讨论一下，的应该怎样涂？
生2：把涂出的部分再平均分成4份，涂出其中的1份。
师：从纸上可以看出，的占这张纸的几分之几？
生：。
师：我们可以得到×＝，根据涂色的过程，你能说说是怎样得到的吗？
生3：我们先把这张纸平均分成5份，1份就是这张纸的，再把这平均分成4份，也就是把这张纸平均分成了5×4＝20（份），1份就是这张纸，所以×＝ 1 × ×＝。
师：总结得很棒！那么，小时粉刷这面墙的几分之几？怎样列式？
生4：表示的是多少，列式为×。
师：你能涂色表示的吗？（学生积极动手操作，交流计算方法和思路）
生5：与前面一样，也是把这张纸分成5×4＝20（份），不同的是取其中的3份，可以得到×＝ 1 × ×＝。
师：想一想，分数乘分数怎样计算？
生6：分数乘分数，应该是分子乘分子，分母乘分母。
……
计算教学是枯燥的，教师要改变以往以记忆法则、机械训练为主的教学方式，为学生提供充分操作活动的机会，激励学生的学习热情，让他们在观察、操作的基础上开展探索与交流，从而深刻理解算理，归纳出计算的法则。
（责编 杜 华）