数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列 而言，若 则此数列为递增数列，若 则此数列为递减数列，若 ，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例探究说明。
一、整式(一次、二次)函数为背景的数列
例1 等差数列{an}中，a10，d0，则数列的所有负数项之和最小。
二、无理根式函数为背景的数列
例2 函数 ，数列 满足 ，（ ）。（1）求 ；（2）判断 的单调性并求 的最小值。
所以 为递增数列，
的最小值为 。
评注：注意隐含条件an0,a>0)为背景的数列
例4 已知数列an= (n∈N�)，则该数列中的最大项是第几项？
解：由an= 得an= ，联想函数y=x+ (x>0)知函数在(0， )上为减函数，在( ，+∞)上为增函数。当且仅当x= 时，函数取最小值。而n∈N�，要使n+ 的值最小，应使n=[ ]。通过计算验证，可得n=12或13时，an最大。
a12=a13为数列中的最大项。
五、混合型数列
例5 数列 满足 ，求 中的最大项和最小项。
中的最大项为a4，最小项为a1。
六、求和为背景的数列
例6 已知Sn=1+ (n∈N�),记an=S2n+1-Sn+1,求数列{an}的最小值。
解： an=S2n+1-Sn+1= ，
则an+1-an= > = >0
an+1>an,
{an}为递增数列，{an}的最小项为a1= 。
七、求积为背景的数列
例7 已知 =2n-1，若不等式(1+ )(1+ ) ≥k 对一切 都成立，求k的最大值。
解：题设知k≤(1+ )(1+ ) / 对一切 都成立，令F（n）=(1+ )(1+ ) / ,
则F（n+1）=(1+ )(1+ ) (1+ )/ ，
F（n+1）/ F（n）=(1+ ) / = >1，
F（n+1）> F（n），F（n）为正整数集上的增函数，F（n）≥F（1）= ，
k≤ ，k的最大值为 。
评注：作商判定数列的单调性是本题求解的关键。
八、自然数数列中的最值
例8 已知正整数 满足下列两个条件：⑴ ，⑵ ，求 的最大值。
解：为使 尽可能大， 尽可能小，故 分别为 ，
另一方面，为使 尽可能大， 应尽可能接近 ，
设 =x，则 ，解得x=192。
所以 的最大值是192。
九、对数函数为背景的数列
例9 已知数列 满足 =求其最大项。
故 的最大项为a2=log23。
评注：本题考查了不等式放缩、均值不等式、对数换底公式以及对数运算，综合运用知识判定数列的单调性，综合性强，但难度不大。
责任编辑李婷婷
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