作为数学的学习与研究,如果仅仅停留在把题目答案找出来,笔者认为远远不够.为解题而解题,数学思维能力很难得到更深程度的训练和提高.数学学习过程中,应该想尽办法让思维呈立体状、多纬度、居高临下、由点到面,通过解一道题却能复习更多的数学知识,尽可能让一道题目变得更丰满,知识容量更大,同学们收获更多.
笔者最近在2011年的高考试题研究中,遇见下面一道数学求最值问题.
题目：(2011年高考浙江卷文(16)题) 若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 .
题目：(2011年高考浙江卷理(16)题) 设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 ．
这两道题分别出现在浙江卷的文、理试卷中,其形式和结构非常类似,我们通常称其为姊妹题.下面我们仅以理科(16)为例进行研究.
解法一 利用均值不等式,解关于2x+y的不等式.
由原式可得：1=(2x+y)2-32•2xy≥(2x+y)2-32(2x+y2)2=58(2x+y)2
所以(2x+y)2≤85�(2x+y)≤2105
点评 利用此法很好体现出均值不等式的妙用,通过高一我们所学习的两个基本不等式消去xy这样的项,利用整体思想使其都变为含有2x+y的项,然后解一个关于2x+y的一元二次不等式,整个解题过程比较简洁明了,运算量也很小.
解法二 利用判别式法,通过换元转化为二次函数,利用函数图像解决问题.
令m=2x+y�y=m-2x代入原式得：
6x2-3mx+m2-1=0关于x的一元二次方程有解则应满足：
Δ=9m2-24(m2-1)≥0�m≤2105
故：(2x+y)max=2105
点评 利用此方法很好体现出高中数学一贯强调的化归思想,通过换元后得到一个一元二次方程,然后将方程转化为一元二次函数,利用根的分布原理,结合二次函数图像从而达到解决问题的目的.
解法三 利用坐标系变换,将已知曲线转化为标准方程求解.
令2x=a+b,y=a-b则：2x+y=2a
所以：1=4x2+y2+xy=(a+b)2+(a-b)2+12(a2-b2)=5a22+32b2
此时把问题转化为在椭圆里求最值问题,根据椭圆的范围我们知道：
-105≤a≤105，-63≤b≤63，
又由2x+y=2a，
即：(2x+y)max=2105
点评 此方法求最值思维角度比较独特,非常巧妙.将一个代数问题转化为解析几何问题,很好地将“数”的问题转化为“形”的问题,借助坐标系旋转将一个不熟悉的,无法一眼判断的曲线形状的方程,转化为一个在新坐标系下的标准椭圆,通过横纵坐标的范围,非常形象地描述了最值问题,通俗易懂.
解法四 利用配方法,将原式配成两个式子的平方和.
因为1=4x2+y2+xy=58(2x+y)2+38(2x-y)2.
根据式子的结构我们知道：当且仅当2x=y=105时,(2x+y)max=2105
点评 利用此法求最值的最大特点就是配方,当然配方时不是盲目配方,让平方式里含有目标式,此时当另外一个式子为零时,目标式就会取得最大值.其实此法与法三有类似之处.
解法五 利用参数方程以及三角函数正、余弦有界性求解.
由1=4x2+y2+xy=(2x+14y)2+1516y2
令2x+14y=sin θ
154y=cos θ�2x=sin θ-1515cos θ
y=41515cos θ
所以：(2x+y)=sin θ+31515cos θ=2105sin(θ+�)≤2105
故：(2x+y)max=2105
点评 利用此方法求最值的最大特点就是引入参数方程,通过三角函数的辅助角公式,借助正弦函数值域的有界性,构建不等式,从而达到解决问题的目的.此方法必须具备较深的三角函数知识.
解法六 利用柯西不等式求解.
由方法五可以得到：1=4x2+y2+xy=(2x+14y)2+1516y2
由于(2x+14y)2+(154y)2•12+3152�(2x+14y+154•315y)2=(2x+y)2，
所以(2x+y)2�2415�2x+y�2105，
故：(2x+y)max=2105.
点评 利用方法五将原式转化为两个平方式之和,然后构造出能够利用柯西不等式的结构,直接求最值.此法最大特点就是构建合理的结构,从而达到解决问题的目的.利用此方法必须具备良好的构造功底.
2011年的高考早已尘埃落定,作为教师我们对高考题的研究远不止这些,因为高考题才是我们平时最好的训练题,更是我们复习备考的一个指引者.本文仅起到一个抛砖引玉的作用,敬请各位同行批评指正.
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