摘要：线与线之间的拓扑关系相对复杂，目前很少有模型能对线线间的拓扑关系进行详细描述。本文运用两元组来描述内部与端点拓扑关系，再使用三元组来描述线线内部的拓扑关系，提出了线线五元组模型。
Abstract：The topological relationship of lines is quite complex, at present having the very litter model to be able to carry on the detailed description to the topological relationship of lines. This paper utilizes two tuples to describe the vertexes topological relationship, and uses three tuples to describe internal topological relationship of the line, this is the line-line five tuple models which this article proposed.
关键字：空间关系、线线拓扑关系、9 - Intersection模型、线线五元组模型
Key words：spatial relationship；Line-Line topological relationship；9 – Intersection model；line-line five tuple models
中图分类号：G623.58文献标识码：A 文章编号：
绪论：
GIS主要是研究现实世界空间实体及其相互关系的描述和表达，在计算机环境下的空间数据组织、存取、分析、可视化，应用系统的设计、数据集成和业务化运作等。GIS的根本任务和功能在于对相关的空间数据进行处理和分析，提取有用的空间信息，这些功能都是通过空间分析实现的。因此空间分析是GIS区别于其它的信息系统及相关学科的主要功能特征，同时也是评价一个GIS功能的主要技术指标之一。
空间关系的表达有定量和定性两种表达方式，拓扑关系属于空间关系的定性表达，是空间关系研究的一个重要方向，它是指点、线和面之间在拓扑变换下保持不变的性质，如在平移、旋转和比例变换下，目标之间的相离、相邻和包含等。拓扑关系的描述一直是空间关系研究的主要内容，也是空间数据库查询和检索语言的重要组成部分，在用户和GIS交流中经常使用，给空间分析带来一种新的方法。因此拓扑关系的描述不仅要能够反映对象间几何上的关系，更重要的是能够与人们的认知概念一致，符合人们认识事物的方法，这样才能被人们所接受。
最具代表性的拓扑关系模型首推Egenhofer和Franzosa (1990)提出的4-Intersection模型及Egenhofer (1991)在基础上提出的9 - Intersection模型，但这些模型不能用于表示复杂的空间模型，难于描述复杂的目标间的复杂空间关系，特别是线线间的空间关系，本文针对此点，设计了一种新的拓扑关系模型。
拓扑关系
按照描述空间目标的维数，拓扑关系可分为二维空间和三维空间，其中二维欧氏空间中空间实体对象可分为点对象(0维)、线对象(1维)和面对象(2维)三类。
根据二维欧氏空间对空间实体的描述和分类，可以简单地对GIS中几何对象间的空间关系描述分为点点关系、点线关系、点面关系、线线关系、线面和面面关系。目标之间的拓扑关系主要是相离、相邻和相交等等。
Egenhofer (1991) 提出的9 - Intersection模型是比较著名的拓扑关系模型，它能表示2种点点间关系、3种点线间关系、3种点面间关系、33种线线间关系、19种线面间关系及8种面面间关系。由于9交模型没有考虑到目标间的方向关系及相交的维数，因此9 - Intersection模型对某些线线关系是不能区分，例如：线线内部相邻、线线内部相交和线线部分重叠（图1）。
9 - Intersection模型也不能表示线线间相交的交点数，线的交点个数可以大于1，可以看出9 - Intersection模型只是对拓扑关系的一个定性描述，然而有时我们不仅要获取目标间定性的描述，有时还要获取定量的描述，比如，要获取两条线是否相交，以及交点的个数，这时9 - Intersection模型就不能描述了，因此，本文提出了一种新模型，来描述线线之间的拓扑关系，这个模型不仅能定性描述线线间的拓扑关系，还能描述定量线线间的拓扑关系。
线线拓扑新模型
在实际中，线线间的拓扑关系复杂，许多拓扑关系模型都很难精确描述。如果要精确描述线线拓扑关系，必须细分线线拓扑关系组成元素。本文根据线的内部和端点，根据线线间的内部和端点只有相离、相交、相接、相邻和重叠。给出了线线间的3大类拓扑关系，如下：
1) 线线间的内部与内部，有3种拓扑关系（如图2），a. 内部相交；b. 内部相邻；c. 内部部分重叠。
2) 线线间的端点与端点，有3种拓扑关系（如图3），a. 端点相邻；b. 端点相邻并部分重叠；c. 端点相离。
3）线线间的端点与内部，有5种拓扑关系（如图4），a. 1端点与线内部相邻；b. 2端点与线内部相邻；c. 1端点与线内部重叠，另1端点与线内部相邻；d. 1端点与线内部重叠；e. 2端点与线内部重叠。
从上面可以得出，线线间的拓扑关系可以分为两个大类，1. 只与线线内部之间的拓扑关系，这类拓扑关系只有3种情况：a.内部相交，b.内部相邻，c.内部部分重叠；2. 与线端点有关的拓扑关系，这类拓扑关系只有8种情况。
线线五元组模型
在前一节，把线线间的拓扑关系可以分为两个大类，1）只与线线内部之间的拓扑关系；2）与线端点有关的拓扑关系。如果只要描述出这两类线线间的拓扑关系，就能把线线间的拓扑关系描述清楚。
对于第一类线线间拓扑关系，有3种情况可以使用一个3元组表示，其中每一元组表示其中的一种情况，其中的数字表示这种拓扑关系出现的次数，如果等于0，表示没有该种拓扑关系；大于0，表示该类拓扑关系出现的次数。3元组的定义为：第一元组表示内部交点的次数，第二元组表示内部相邻的次数，第三元组表示内部重叠的次数。
对于第二类线线间拓扑关系，主要是针对线线端点的。由于一条线只有两个端点，对于两条线就是两对端点，因此只要一个2元组就能表示这两对端点的拓扑关系。2元组的取值按表1取值，该表是按照每对端点可能存在的拓扑关系进行编号，每个取值都唯一对应一种拓扑关系。
表12元组的取值表
端点的拓扑关系 2元组的取值
2端点相邻 1
1端点相邻并部分重叠 2
2端点相离 3
1端点与线内部相接 4
2端点与线内部相邻 5
1端点与线内部重叠，另1端点与线内部相邻 6
1端点与线内部重叠 7
2端点都与线内部重叠 8
线线五元组模型就是把上面的2元组和3元组进行合并，运用5个变量表示线线间的拓扑关系，达到对线内部和端点的拓扑关系进行表示，这种方法能对线线间的任意拓扑关系进行表示，并且查询方便，比如：要查询线线是否相交，只要查询元组是否为零，可以这样认为这种方法是一种比较理想并且查询方便的模型。