摘 要: 本文通过对高职数学“复合函数的求导法则”的研究,从运算的角度,教学内容、要求、重难点,本章的特点三个方面进行了总结,得出了五个方面的教学体会。 关键词: 高职数学 复合函数 求导法则 教学体会
现行高职数学“复合函数的求导法则”是高职数学中最重要的内容之一。该内容的引入既丰富了高职数学的内容,又体现了复合函数的求导法则作为数学工具的重要性。利用复合函数的求导法则去解决一些实际问题,深化了数学知识间的关联性和系统性,为更好地学好高职数学奠定了良好的基础。复合函数的基础知识较多,且与其他很多部分知识都有联系,如复合函数与导数的联系、复合函数与基本初等函数的联系、复合函数与导数的四则运算的联系等。因此,教师有必要加强对“复合函数的求导法则”这一章节的进一步研究和总结。
从运算的角度来讲,会求复合函数的导数,必先会求基本初等函授的导数,当然关键还是要把复合函数进行分解,并牢记中间变量。
例1.求函数y=(1-3x+x)的导数。
解:设y=u,u=1-3x+x,
因为y′=(u)′=5u,u′=(1-3x+x)′=-3+2x,
所以y′=y′u′=5u(-3+2x)=5(2x-3)(1-3x+x)。
例2.求函数y=lntanx的导数。
解:设y=lnu,u=tanx,
因为y′=,u′=secx,
所以y′=y′u′=secx=secx===2csc2x。
从上面的例子可知,运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数的和、差、积、商,然后应用复合函数求导法则和适当的求导公式进行计算,求导后要把中间变量换成原来自变量的式子。当对复合函数的分解比较熟练后,也可不必再写出中间变量,只要将中间变量所代替的式子默记在心,直接根据法则,按步骤由外向里逐层求导即可。
例3.求函数y=cot(2x+1)的导数。
解:默记中间变量u=(2x+1),直接求导,得:
y′=[cot(2x+1)]′=-csc(2x+1)(2x+1)′=-2csc(2x+1)。
例4.求函数y=(x-cosx)的导数。
解:y′=3(x-cosx)(x-cosx)′
=3(x-cosx)[1-2cosx(cosx)′]
=3(x-cosx)(1+2cosxsinx)
=3(x-cosx)(1+sin2x)。
应当注意,有些复合函数能化简的,应当尽量先化简再求导,有时还需要综合运用四则运算的求导法则和复合函数的求导法则。
例5.求下列函数的导数。
(1)y=;
(2)y=。
解:(1)先将分母有理化,得:
y=
=x+。
所以
y′=1+=1+。
(2) 先化简
y=・=2sec2x
所以y′=2sec2xtan2x(2x)′=4sec2xtan2x。
要想掌握好复合函数的求导法则,学生除了掌握以上复合函数的求导规律外,还得复习求导公式,因为公式也是基础。
参考文献:
[1]林益主编.高等数学.面向21世纪全国高校数学规划教材.北京大学出版社.
[2]盛祥耀主著.高等数学.教育部高职高专推荐教材.高等教育出版社.
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