摘 要： 本文给出了在一点处高阶导数定义的一般形式，并介绍了将拉格朗日中值定理推广到高阶导数的情形。 关键词： 高阶导数公式 拉格朗日中值定理 推广
在微积分中，函数在一点的导数是函数增量和自变量增量比的极限，拉格朗日中值定理用一阶导数给出了函数增量和自变量增量之间的关系．但在一点的高阶导数并没有给出定义式，同样，拉格朗日中值定理也没有讨论高阶导数情形．本文将探讨关于高阶导数的一些结论．
在同济版《高等数学》教材中，有这样一个习题：
设f（x）存在，则f（x）=．
利用洛必达法则及一阶导数定义，很容易证明．下面将上述结论推广到一般情形，我们有结论：考虑上式中的分子
（-1）Cf［x+（m-k）h］-（-1）Cf［x+（m-k-1）h］
=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）-（-1）Cf（x-h）.
由于C+C，则：
（-1）Cf［x+（m-k）h］-（-1）Cf［x+（m-k-1）h］
=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）-（-1）Cf（x-h）
=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）+（-1）Cf（x-h）
=（-1）Cf［x+（m+1-k-1）h］
即当n=m+1时公式也成立，从而定理1得证．
下面我们把拉格朗日中值定理推广到高阶导数．
定理2：设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内有二阶导数，则存在ξ∈（a，b），使
f（ξ）=f（b）-2f+f（a）
证：令φ（x）=fx+-f（x），则：
φ-φ（a）=f（b）-2f+f（a）
由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（a，b），使
φ-φ（a）=φ′（ξ）-a=φ（ξ），ξ∈a，即f（b）-2f+f（a）=f′ξ+-f′（ξ）
=f（ξ）・・=f（ξ）
其中ξ在ξ+与ξ之间，则ξ∈（a，b）．
从而有：f（ξ）=f（b）-2f+f（a），ξ∈（a，b）．
定理3：设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内有n阶导数，则存在ξ∈（a，b），使
f（ξ）=（-1）Cf
证：用数学归纳法
当n=1时，即是拉格朗日中值定理．
当n=2时，即是定理2．
假设n=m时成立，即：
f（ξ）=（-1）Cf.
令φ（x）=f（x+t）-f（x），其中t=．
由假设，存在ξ∈（a，b-t），使
φ（ξ）=（-1）Cφ
将t=代入并化简得：
φ（ξ）=（-1）Cφ
由拉格朗日中值定理，
φ（ξ）=f（ξ+t）-f（ξ）=f（ξ）t＝f（ξ）・
其中ξ在ξ+t与ξ之间，则ξ∈（a，b）
则f（ξ）=（-1）Cφ
又（-1）Cφ
=（-1）Cf+-f
=（-1）Cf-f
=Cf（b）-Cf-Cf+Cf+…+（-1）Cf-（-1）Cf（a）
=Cf（b）-Cf+Cf+…+（-1）Cf+（-1）Cf（a）
=（-1）Cf
从而f（ξ）=（-1）Cf
即n=m+1时结论也成立，从而定理3成立．
参考文献：
［1］同济大学数学系.高等数学（第六版）高等教育出版社，2007.
［2］王昆扬.简明数学分析.高等教育出版社，2001.
［3］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.
［4］数学手册.高等教育出版社，1977.
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