在初中数学总复习的过程中,我们要立足课本,以基本知识、基本方法、基本技能为主,多层次、多角度、立体化地处理教材,应用教材,对支撑学科知识的重点问题,学会融会贯通、举一反三,提高学习效率。
一、小题大做,夯实基础
下面我以对一个几何题目的变式教学过程,来说明如何夯实基础的。
例题:如图一,△ABC中,BC=AC=5,AB=6,D是底边AB上任一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,求DE+DF的值。
1.特殊值(退位思考)法
当遇到一些比较难的数学问题时,不妨将问题退到最简单的情形,使问题降低难度,从特殊的问题中得到启发,然后再回到一般的问题中去,这是一种行之有效的解决问题的方法。
解:(1)如图二,当D点与A点重合时,此时DF=0,DE是△ABC腰上的高,所以DE与DF之和即为△ABC腰上的高长,于是将问题转化为求△ABC腰上的高的长。
如图三,作等腰△ABC底边AB的高CM,由三线合一性质可知,BM=AB=3,在Rt△BCM中,CM===4,
利用面积法可得:AB×CM=BC×AE
∴AE==
∴DE+DF=。
(2)如图四所示,当D点为等腰△ABC底边BC中点,BG为腰AC上的高时,此时易证:DE=DF=BG,则DE+DF=BG=
综上所述,通过特殊值(退位思考)法,可猜想得出一般规律:
等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高的长。
2.验证猜想
通过一题多解,从多种角度去思考问题、分析问题、解决问题,从而培养学生思维的发散性。
已知:如图五,△ABC中,AC=BC,D是底边AB上任一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,AG⊥BC于G.
求证:DE+DF=AG
证明:方法1:截长法
如图五所示,过点D作DH⊥AG于H点,
∵DE⊥BC,AG⊥BC,DH⊥AG
∴四边形DEGH是矩形,∴DE=GH。
∵DH⊥AG,AG⊥BC,∴DH∥BC∴∠HDA=∠B,
∵AC=BC∴∠FAD=∠B,因此∠FAD=∠HDA。
在△AFD和△DHA中
∠DFA=∠AHD=90。,∠FAD=∠HDA,AD=DA
∴△AFD≌△DHA(AAS)
∴DF=AH
从而可证:DE+DF=GH+AH即:DE+DF=AG
方法2:面积法
如图六所示,连结DC
∵S△ABC=S△ADC+S△BDC
∴BC×AG=AC×DF+BC×DE
∵AC=BC
∴BC×AG=BC×DF+BC×DE
即:BC×AG=BC×(DF+DE)
∴DE+DF=AG
3.探究提高
在例题中若D为等腰三角形底边延长线上任一点时,其它条件不变,结论怎样?请写出你的猜想;并给予证明。
分析:如图七,当D为BA延长线上任一点时,上述结论不成立,正确的结论应为:DE-DF=AG。
证明:过A点作AH⊥DE于H点,
易证四边形AGEH为矩形,△AFD≌△AHD
∴AG=EH,DF=DH
∴AG+DF=EH+DH=DE
从而:DE-DF=AG
4.拓展应用
拓展1、如图八,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,M是边AB上任意一点,ME⊥AC于E,MF⊥BD于F,AB=4,BC=3,求ME+MF的大小。
分析:由矩形的性质易得,△AOB是等腰三角形,由本题条件可得ME、MF分别为等腰△AOB底边上的点M到两腰的距离,所以ME+MF的大小就是△AOB腰上的高BH的长,因此本题即转化为求△OAB的高BH的长。
拓展2、如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一点,AB=AE,P是EB上任意一点,PF⊥AB,PG⊥AC,垂足分别为G、F。求证:PF+PG=AC
分析:由条件可知,PF、PG的长分别为等腰△ABE底边上的点P到两腰的距离,由前面结论可得PF+PG的大小就是△ABE腰上的高的长,连结BD,由正方形的性质得,OB即为△ABE腰上的高,且OB=AC,从而可证:PF+PG=AC
在对本题的复习过程中,认真挖掘,遵循“特殊――一般――特殊”的科学探究方法,利用一题多解、一题多变等灵活多样的形式,对小题进行大做,不仅对基础知识进行有效的复习,而且可为学生创造很多创新的机会,使学生体会到创新的乐趣,培强了创新的意识。
二、先练后教,狠抓双基
1.先练后教
课前备课根据每节课的教学内容精选一定量的、具有代表性、典型性的例题,课堂教学中,根据例题的数量和难度,规定时间让学生先练习,在学生练习时,教师特别要关注差生,与差生一起练习。学生在练习中就能发现自己还没有掌握的问题,当学生感觉到自己所学的不足与缺陷时,自然会向教师提出问题。教师抓住这个时机,激发学生求知欲,促进学生产生知难而进、通于攻破难题的信心,引导学生解决问题。在解题的过程中按照中考说明确定的重点、难点渗入教材的知识点,激发学生重新认识教材知识点的兴趣。
2.狠抓双基,全面巩固基础知识
中考试题是对初中数学基础知识的全面考察,中考试题依据中学生的身心发展特点,一般不会有难题、怪题、偏题,基础知识的巩固,基本技能的训练是复习过程中的重中之重。学生只有在掌握了基础知识的前提下,识记理解公式、定理,运用公式、定理分析、解决问题,才能对数学问题进一步深化与提高。俗话说“万丈高楼平地起”,没有扎实的基础,万丈高楼从何谈起。夯实基础是灵活运用的前提。复习教学中,切忌好高骛远,使学生如坠雾中,如悬空中。
作者单位:
江苏启东市南苑中学
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