摘 要: 数学本身是一种思辨方法,在数学中充满了辩证法,注重唯物辩证法在概率统计中的应用,对于提高数学素养是一种极其有效的方法。 关键词: 唯物辩证法 概率统计 运用
一、解题中的唯物辩证法
数学的本质即哲学思辩方法,其中充满了唯物辩证法。如矛盾论、对立统一、用联系和发展的观点看问题。哲学讲没有绝对的静止,再美的花看多了,也会厌倦。因而教师在教学中时刻要变化,变化表达方式、教态、教学方式。有时要故意出错,让学生在纠错中学到知识。某些观点,从正面阐述,听得多了,会产生抗体,那就从反面强调。所谓“奇则正之,正则奇之”。
例1:(2010年重庆文科数学高考题)加工某零件需三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为、、,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 。
解析:法一:直接法。p=++-・-・-・+・・=。
法二:从反面考虑,从对立事件角度考虑p=1-・・=。
同样的知识点背景,完全相反的解题思路,考查学生的不同思维能力。
例2[1]:(独立与不相关的等价条件)假设随机向量(X,Y)的联合密度为f(x,y)=[φ(x,y)+φ(x,y)],其中φ(x,y),φ(x,y)均为二维正态分布密度:
φ(x,y)=exp-x-xy+y,
φ(x,y)=exp-x+xy+y。
(1)求边缘概率密度f(x)和f(y);(2)求相关系数ρ;(3)问X和Y是否独立?为什么?
解析:由φ(x,y),φ(x,y),有:E=0,D=1,ρ=,ρ=-。
(1)f(x)=?蘩f(x,y)dy=[φ(x)+φ(x)]=φ(x),同理可得f(y)=φ(y)。
(2)E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1。因而:ρ=E(XY)=?蘩?蘩xyf(x,y)dxdy=0。
(3)R.V.X和Y不独立,所以,f(x,y)=[φ(x,y)+φ(x,y)]≠f(x)f(y)。
小结:若R.V.X和Y都服从正态分布,则:(1)联合分布不一定是正态分布;(2)两者不相关,不一定相互独立;(3)若联合分布是二维正态分布,则:“不相关”和“相互独立”等价。
数学家波利亚在《怎样解题》中指出:“数学解题就是命题的连续变换,而命题的连续变换就是数学思想方法反复运用的过程,解题的最终目标是把题目归结为已经解过的题。”
例3[1]:(均匀分布)向区域G={(x,y)||x|+|y|≤2}上均匀地掷一随机点(X,Y),求(X,Y),以及X和Y的概率密度f(x,y),f(x)和f(y)。
解析:易得f(x)=(-2≤x≤0)(0≤x≤2)0(|x|>2),f(y)=(-2≤y≤0)(0≤y≤2)0(|y|>2)。
实践是检验真理的唯一标准。如将概率统计与社会生产、生活实际相结合,二项分布B(n,p)与药物的有效性等问题结合,将正态分布与考试成绩、可靠性理论等问题结合;将指数分布与元件寿命问题结合,在实际问题的解决过程中体会和了解概率论的思想方法[2]。
例4:(2010年安徽文科数学高考题)某市2010年4月1日―4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45。
(1)完成频率分布表;(2)作出频率分布直方图;(3)根据国家标准,污染指数在0―50,空气质量为优;在51―100,为良;在101―150,为轻微污染;在151―200,为轻度污染。请依据所给数据和标准,对该市的空气质量给出一个简短评价。
二、理论中的唯物辩证法
任何定理都有其条件和结论,定理的表达形式主要有三种:图形、文字、符号。其体现了代数与几何的完美结合。
例如:事件的和A+B与集合的并A∪B(可类比物理中的并联电路),事件的积A・B与集合的交运算A∩B(可类比物理中的串联电路),同时,其又均可用文氏图表示,而计算概率时可用面积理解。对立事件和互斥事件同样可以类比理解。
将概念或定理中的条件或结论作适当的推广,可以得到许多有趣的结论,同时也会弄清其中的内在联系,形成知识体系。概率论与实变函数论、测度论有许多相似之处,如:基本事件空间Ω―论域,基本事件ω―论域中的点,事件A的概率P(A)―A的测度,等等。
具有同一属性的不同类型的事物,其实在本质上还是具有共同点的。如,离散型R.V.的一套理论,可以应用到连续型R.V.,如U[a,b],N(μ,б2),指数分布。相关的概念如概率密度、参数、期望、方差在整体思路上亦具有统一性。
抓住了共通点,我们可以进一步地类比学习,弄清一类问题。如从概率的定义出发,我们可以推出概率的许多相关性质。由三个基本公式:乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,可以掌握事件概率的计算方法。由两个变量的情形,可以类似地得到多个变量的情形;由联合概率分布,可得边缘分布,等等。
在高考、大学、考研的概率与数理统计题型中,均体现了唯物论认识事物的规律,如矛盾论、对立统一、理论联系实际等。总之,教学有法,但教无定法,哲学中强调具体情况具体分析。在教学中,教师要结合实际的内容,选择合适的教学方法,在传授知识的同时,引导学生积极发现、探索、研究,培养思维的深刻性、广泛性、灵活性、敏捷性、独特性、批判性、创造性。学生掌握数学思想方法,掌握做研究的方法,掌握学习数学的工具,在数学知识的海洋中遨游,定能畅通无阻。
参考文献:
[1]周概容.概率论与数理统计大讲堂[M].大连:大连理工大学出版社,2004.
[2]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2002.
[3]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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