摘 要: 判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。
关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数
对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。
而关于二元函数可微性的判定却较复杂,因为二元函数中连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数连续与可微之间的关系比较复杂。为了便于学生进一步理解多元函数全微分的概念,正确判定多元函数的可微性,下面我们通过一些具体的例子来分析这四种关系。
一、二元函数全微分的定义
二元函数z=f(x,y)在点M(x,y)的邻域内有定义,给x、y以改变量△x、△y,得到z的全改变量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=A△x+B△y+o(ρ),(ρ→0)。
A、B仅与点(x,y)有关,而与△x、△y无关,ρ=,则称z在(x,y)可微,A△x+B△y称为z=f(x,y)的全微分,记作dz=A△x+B△y。
二、二元函数可微的三个必要条件
定理1:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,则f(x,y)在点M的两个偏导数存在,且f(x,y)=A,f(x,y)=B。
证明:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,
即有:△z=A△x+B△y+o(ρ)。
当△y=0时,上式仍成立,此时ρ=|△x|,
f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(|△x|)……①
①式两边同时取△x→0时的极限有:
=A=f(x,y),所以偏导数f(x,y)存在,同理f(x,y)存在。
注意:定理1的逆命题不成立。即:偏导数存在是可微的必要非充分条件。
例如:f(x,y)= (x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0),
因为f(0,0)==0,
同理,f(0,0)=0,两个偏导数均存在。
但=不存在,
即△z-[f(0,0)△x+f(0,0)△y]不是较ρ高阶的无穷小,从而推知f(x,y)在(0,0)处不可微。
由定理1及全微分的定义可总结出如下两点:
(1)若f(x,y)在点M的偏导数不存在,则z=f(x,y)在点M(x,y)不可微。
(2)当ρ→0时,考察△z-[f(x,y)△x+f(x,y)△y]是否为的高阶无穷小。若是,则可判断f(x,y)在点(x,y)可微;若非,则可判断f(x,y)在点(x,y)不可微。
定理2:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,则f(x,y)在点M连续。
证明:因为z=f(x,y)在点M(x,y)可微,
所以,△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y),△z=0。
从而f(x+△x,y+△y)=[f(x,y)+△z]=f(x,y),
故函数z=f(x,y)在点M(x,y)连续。
注意:定理2的逆定理不成立。即:连续是可微的必要非充分条件。
例如:f(x,y)=|x|+|y|在点(0,0)连续,但当y=0时,
f(0,0)==显然不存在,同理f(0,0)也不存在。
两个偏导数不存在,当然f(x,y)在点(0,0)处不可微。
由定理2可推知:若z=f(x,y)在点M(x,y)不连续,则f(x,y)在点M不可微。
定理3:若z=f(x,y)在点M(x,y)可微,则f(x,y)在点M处沿任何方向l的方向导数存在,且f(x,y)=f(x,y)cosα+f(x,y)cosβ(其中cosα,cosβ为l的方向余弦)。
证明:由于函数在M(x,y)可微,则增量可表示为:
f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=f(x,y)△x+f(x,y)△y+ o(ρ)
等式两边同时除以ρ,得:
=f(x,y)+f(x,y)+
从而有:f(x,y)=
=[f(x,y)+f(x,y)+]
=f(x,y)cosα+f(x,y)cosβ
注意:定理3的逆定理不成立。即:方向导数存在是可微的必要非充分条件。
例如:f(x,y)= (x+y≠0)0 (x+y=0)在点(0,0)处有f(0,0)==0及f(0,0)==0,
于是由方向导数定义,在(0,0)点沿任何方向l有:f(0,0)=0。
但= ①
(1)当点(x,y)沿直线y=x趋于点(0,0)时,①=;
(2)当点(x,y)沿直线y=0趋于点(0,0)时,①=0。
所以①的极限不存在,即△z-[f(0,0)△x+f(0,0)△y]不是较ρ高阶的无穷小,从而推知f(x,y)在(0,0)处不可微。
三、二元函数可微的一个充分条件
定理4:若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文