摘 要：数学课堂中如何处理好难点的教学，使学生容易理解和接受所学知识，同时又让学生不感到吃力，提升学习者的学习兴趣，使潜能得到开发，并且能按照学习者的认知水平的提高，而循序渐进地学习新知，这是数学教育历来都学要面对的问题。本文就从最近发展区的理论出发，通过对教学难点的阶梯式处理模式的研究，探讨了基于最近发展区理论的数学教学难点的处理这一课题。
关键词：最近发展区 教学难点 阶梯式处理
一、问题的提出
先来看一个例子：（七年纪下“1.3三角形的高”例1）
如图：在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小。
在三角形的知识应用中这个题目是很典型的，它的解答需要用到：三角形角平分线的概念、高的概念、内角或外角的性质，角的和、差。问题具有一定的综合性，这对初学者来说会有不少的困难。当然这样的难点在数学教学中还很多，如何使学生弄懂这些难点，是数学教师教学中的重要工作之一。
二、阶梯式处理
为了解决这个教学难点，我们可以先做一些铺垫，就如同给学生几级台阶，让他们容易上去。
先让学生求∠EAC的度数，∠EAC的度数由AE是AE是△ABC的角平分线而易求出。
再让他们求∠DAC或∠AEC的度数。
这两个角度的求得是比较方便的：
∠DAC=180°-∠ADC-∠C，∠AEC=180°-∠C-∠EAC
有上面的∠DAC或∠AEC的度数作铺垫，学生对求∠DAE的大小就容易求得结果：
∠DAC=∠DAE+∠EAC或∠AEC=∠DAE+∠ADC
这就是阶梯式处理，是在学生现有的认知水平和要认知的知识之间设置台阶，使学生容易跨过去，从而理解难点的教学处理方式。
三、阶梯式处理的理论基础
学习理论指出：在学习过程中新知识的输入、同化和操作取决于原有的认知结构，因而原有的认知结构对新知识的学习具有制约作用。一般而言，当新、旧知识之间跨度较小，相互容纳时，学习就能顺利进行。反之，当新知识和学生的原认知结构脱节时就必然形成学习的难点。阶梯就是建立在学生已有的认知水平和要学习的新知识之间的桥梁。
在上面的例子中，三角形的内角和是学生掌握比较好的知识，因此学生求∠DAC或∠AEC的度数是比较容易的，这是学生的“数学现实”。数学现实是著名数学教育家弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）的三个数学教育原则之一，弗氏认为：“每个人都有自己的数学现实，数学教学需要根据学生的数学现实来展开。”在上面的例子中，学生的数学现实就是在三角形中已知其中两个角易求第三角，因此我们的教学就从三角形的内角和出发。但弗赖登塔尔没有阐述如何在学生已有的知识和要学习的知识之间建立桥梁。而前苏联心理学家维果茨基则对此做了论述，维果茨基的最近发展区理论认为：在学生实力所能达到的水平与经过别人给予协助可能达到的水平之间有一段差距，这就是该学生的最近发展区。在教学中为了使学习能在这里有效地展开，由一个更有能力的人来帮助学习者从现有水平进步到潜在水平的这个过程称为脚手架或支架（J・S・Brunner 1985）。教师的作用就是帮助学生搭建这样的脚手架，因而教学的最佳效果产生在最近发展区（张春兴1998）。
维果茨基的最近发展区理论在教学上具有重要的意义，教学的最佳效果产生于学生的最近发展区。当然最近发展区理论只能视为原则，不能作为方法。但它为我们的阶梯式处理方法提供了坚实的理论基础。教学中如何确认学生的原有认知水平和潜在的发展水平，从而采用适当的方法为学生铺设阶梯，是教学工作的重点。
四、如何设置阶梯
初中数学教学中，对于教学中的具体难点，如何设置阶梯呢？有多少类型的阶梯式处理方式呢？本人认为归纳起来大致有这三种：从特殊到一般、图形直观、类比。
1.从特殊到一般
阶梯设置（阶梯式处理的主要方式是设置阶梯）的目的是为了方便学习者理解，激发学习兴趣。故在设置时要考虑到学习者的知识起点，照顾其“数学现实”，即设置的阶梯应是学生容易迈上去的，应由易到难、由低到高，这样才能起到事半功倍的效果。在解题或教学过程中遇到困难的问题，从特殊开始是一种比较有效的方法。这就给我们一种有益的启示，对于有些难点可以采取从特殊到一般的方法来处理。
例如（七年级上“7.2线段、射线和直线”），在直线a上有n个点，则图中共有几条线段？
在教学过程中如何让学生得到线段数(n-1)+(n-2)+…+3+2+1是个教学难点。
首先可以让学生先分析直线上分别有2、3、4、5个点时的线段条数1、3、6、10，接下来引导学生完成如下的式子：
然后让学生观察点数与相对的等式右边的最大的数的关系，就容易归纳得到在直线a上有n个点时，则图中线段条数为(n-1)+(n-2)+…+3+2+1。
例如（八年级下“2.2一元二次方程解法”），用配方法解一元二次方程是教学难点，如果解决了对形如x2+bx=c的配方解法，那么对一般形式下ax2+bx+c=0(a≠0)的配方解法就很容易了。
在教学中对于x2+bx=c的配方解法，如果教师直接告诉学生应该“在方程的两边加上一次项系数一半的平方”，这对初学者来说是难以理解的。在不理解的情况下，留给学生的只能是对结论的机械性的记忆了，对他们的学习兴趣、能力的培养是不利的。那么在教学中可以利用具体例子如x2+4x、x2-6x来介绍如何配方，再得到对x2+bx=c的配方方法。
首先给出填空：(x+2)2=x2?摇?摇x+( )2
(x-3)2=x2?摇?摇?摇x+( )2
由于学生已经学过完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，上述的题目他们是容易完成的。
在此基础上利用x2+4x+(2)2=(x+2)2， x2-6x+(-3)2 =(x-3)2学生就容易明白要对x2+4x、x2-6x配方还要加上某数的平方。
进一步引导学生观察、分析这个数与一次项系数有何关系？从而得到：这个数是一次项系数的一半。
到此学生也就容易明白对x2+4x、x2-6x的配方应该要加上一次项系数一半的平方。
最后再利用x2+2ax+a2=(x+a)2来完成对形如x2+bx的配方。
经过这样的多步阶梯处理，学习者在理解上就容易多了。
2.图形直观
有时在设置阶梯时还要使用图形，使问题直观生动，例如（七年级上“5.4问题解决的基本步骤”例2）：七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社的多少人？
本例中的相等关系比较隐蔽，仅靠学生现有的经验较难分析清楚其中的数量关系，如果先引导学生画出如下的图示：再根据图中的面积关系来分析等量关系就容易多了。
3.类比
在数学教学常常会碰到两类事物在某些属性上有相同或相似的情况，而在某些属性上的相同或相似可以用来归纳为明确的概念，进而构建其他一致之处。所以在某些教学难点的处理上就可以利用类比来设置阶梯。
例如（七年级下“1.1认识三角形”）：如图，从三角形顶点向对边引出n条线段，则所得三角形的个数是几个？
在教学中可以先来解决“在直线a上有n个点，则图中共有几条线段？”那么学生完全就可以利用类比来解决上述问题。
五、结论
最近发展区说起来容易，但在实际操作中却异常复杂。首先，这个理论在应用过程中有一个不可否认的优点，就是让教师明确了教学应该在哪里展开，即在学生的最近发展区实施教学，才能取得最佳效果，但事物都有两面性，正是这个优点也成了它的不足。由于支架的设计是一小步、一小步递进的，这当然十分符合学生的认知规律，学生也有一些思考，正如上面的几个设计，应该说很好地运用了最近发展区理论，学生也是容易接受的。但也有不足，那就是学生的思路一直跟着教师走，独立思考的时间不多，从而会忽视学习者学习能力的培养。
其次，同样的两个概念之间的区域，对不同的学习者最近发展区是不一样的。对有的人而言，这个区域可以说是一条小小的沟渠，一脚就跨过去，或者根本就不存在这个区域，认为这两个概念从前者至后者的发展是十分自然的，而对另一些人而言也许是巨大的鸿沟，甚至永远跨不过去。
另一方面，对某个知识而言，一个学习者的最近发展区到底有多少宽，也是很难确定的。多数情况下学生的发展区不是很宽的，但有的则宽得难以想象。
由此可以看出最近发展区的复杂性，这种复杂性在学生水平参差不齐的班级里表现得尤为明显。当一个班级的学生同时学习某个知识内容时，教师设计的脚手架只能满足一部分学生的需要，对优秀学生而言，他们不需要这阶梯，而后进的学生来说这个支架还是太高了，仍超过他们的认识水平。
当然在阶梯设计过程中，由于学生的程度不同而造成的困难如何解决？一个学习者个体的现有水平如何快速地被找到？等等都可以作为进一步研究的对象。这些都有待于我们在今后的教学研究中进一步深入探索。
参考文献:
［1］L・S・维果茨基.思维与语言［M］.浙江：浙江教育出版社，1997.
［2］范良火.华人如何学习数学［M］.江苏：江苏教育出版社，2005.
［3］谢全苗.思维的最近发展区的开发与利用［J］.数学通报，2004.8.
［4］孔企平.数学新课程与数学学习.北京：高等教育出版社，2003.1.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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