摘 要： 与数列有关的命题中，有时会遇到诸如数列有关的最值问题，此时应该如何对问题进行分析并求解显得尤为重要。有思路才有出路，本文就此问题进行一些简单的归纳，希图读者在遇见它时不会不知所措.
关键词： 厦门市统考 数列 最值 函数 比较法
2012年我们学校有幸参与厦门市进行统考，理科试卷中第20题是一道数列问应用题，题目如下：一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b件.当该产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为a件，调查发现：每日播一次则日销售量a件在b件的基础上增加件，每日播二次则日销售量a件在每日播一次时日销售量a件的基础上增加，……，每日播n次时，该产品的日销售量a件在每日播n-1次时日销售量a件的基础上增加件，合同约定：每播一次企业需支付广告费2b元.
（1）试求出a与n的关系式；
（2）该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？
解析：（1）依题意可得a=a+，a=；由累加法得a=2b（1-）.
（2）依题意得，日利润：y=2b［100-（+n）］，（n∈N）.
欲求日利润y最大，即求t=+n，（n∈N）的最小值.以下对此进行分析.
（法一）令f（x）=+x，x∈N则f′（x）=-ln2+1；由f′（x）=0得：2=100ln2，∴x=log（50ln2），∵＜ln2＜1，∴2＜25＜50ln2＜50＜2，∴4＜x＜6，又∵x∈N，又由导数的性质可得，函数f（x）在x=5时取极小值；即n=5时，t=+n最小，所以每日电视广告需播5次，日利润最大.
由法一可发现：数列或其前n项和其实是一个定义域为N或其子集的一个特殊函数，所以求数列最值问题常归结为求函数的最值问题.
有一些问题都可以利用这个方法进行，如：
1.等差数列{a}的通项a=-2n+19，求其前n项和的S最大时n值.
此题可由a＞0得n＜9.5，故前n项和最大时，n=9.
此题还有另解：S=-n+18n，令f（x）=-x+18x，则由二次函数性质可得，当x=9时，函数有最大值，即n=9时，S最大.
2.证明：lnn≤n-1，n为正整数.
证明：令：f（x）=lnx-x+1，则f"（x）=-1=，由f′（x）≤0得x≥1，
∴f（x）在［1，+∞）单调递减，所以x≥1时，f（x）=lnx-x+1≤f（1）=0；即lnx≤x-1.
于是，对正整数n，lnn≤n-1.
上述厦门市统考数列试题还可用如下方法求解：
（法二）设b=+n，则b-b=+n+1-（+n）=；
由2-100＞0，且n∈N，可得n=5，6，7，…
于是当n=5，6，7，…时，b-b＞0；当n=1，2，3，4时，b-b＜0.
所以b＞b＞b＞b＞b＜b＜b＜…所以n=5时，b=+n最小.
所以每日电视广告需播5次，日利润最大.
由法二可发现：求数列最值时可利用数列通项中的n为正整数这个特征，通过比较法（作差或作商）讨论数列相邻两项的大小关系，从而得到数列各项随n的增大的变化情况.然后确定其最值，当然，此法也有函数思想的渗透.如下两问可用此法.
3.n取何值时，数列a=取最大值？
4.（2010上海文数21改编）数列S=75•（）+n-90，求S取最小值时n的值.
解：S=75•（）+n-90（n∈（N）；由S＞S，得（）＜，n＞log+1≈14.9，
∴n≥15时，S＞S，1≤n≤14时，S＜S；∴n=15时，S取最小值.
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