九年义务教材七年级下册P31中习题：如图（1），A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
解析：此题实是利用平移将问题转化为如图（2）的简单问题：“在河a（直线）两侧有点A、B，在河上架设一桥C，使AC+BC最短。”即在图（3）中将点B向上平移河的宽度至B ，此时有宽度的河变成了一条直线，连接AB ，交河上沿于点C，将C往下平移至河下沿于点D，则CD为所求的桥的位置。若在河的其他位置造桥如EF，易知四边形CDBB 、EFBB 均为平行四边形，FB=EB ，DB=CB ，显然AE+EB ＞AB 即AC+CD+DB＜AE+EF+FB。
体会：通过平移将有宽度的河面转化为一直线，这样在河上造桥问题也就转化为在直线上找点的问题了，（也可将河的上沿往下平移，即将点A往下平移河的宽度）由“两点之间线段最短”可知两直线的交点就是该点的位置。
由此题引发如下三个问题：
问题1、如图（4）在AB之间有两条河，则两条河上的桥分别建在何处才使A到B的路程长最短？
解析：由原题的转化特点进行类比联想：设法将两条河都转化为没有宽度的的直线，即将A向下平移河1的宽度至A ，将B向上平移河2的宽度至B ，连接A B ，交河1下沿于C，交河2上沿于E，再作CD垂直河1上沿于D，作EF垂直河2下沿于F，CD、EF便是所求的两座桥。
问题2、若一“L”字形的河，如图（5），河左侧有一村庄A，河下侧有一村庄B，在河面上建两座桥，使从A经过桥1，再经过I区，再由桥2到B处，使此路程长最短。
解析：关键仍然是将有宽度的河转化为没有宽度的线，即将A点向右平移河的宽度至A ，将B点向上平移河的宽度至B ，连接A B ，交CD于M，交DH于L，将M向左平移至N，将L向下平移至K，则线段MN、LK为所求的桥。
问题3、河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的离分别为a米、b米(即图(6)中所示AA′=a米，BB′=b米)，A′B′=c米。现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小。(1)在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程；(2)求AC+BD的最小值。
解析：由此题容易联想熟知的“将军饮马问题”，也就是，如图（7）在DE上找点F，使AF+BF最小。通过作A关于DE的对称点C，从而将问题转化为在“DE上找一点F，使它到DE异侧的B、C距离和最小”。显然点F为BC与DE交点。但是此题却要找两个点C、D，且CD=s，使AC+BD最小。由上述平移问题可知：将B点向左水平移动S距离至B′如图（8），这样问题就转化为图（7）的“将军饮马”问题了，按照图（7）中的作法，首先找到点C，再向右移动s距离找到点D，连接AC、BD，这样便满足AC+BD最小，即为 （证明略），这样，“在L上找线段CD”问题即转化为在L上找一个点的问题。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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