代换是一种重要的数学思想方法，它是绚丽多彩的换元法中的一朵奇葩. 数学问题在形式上呈现多样性和复杂性，在思维方式和解题方法上又表现出灵活性，在直接解决问题受阻时，常需要采用转化策略. 本文就常数1，0的整体代换技巧予以介绍和总结，希望能给同学们学习数学带来帮助.
一、1的代换用于三角函数的求值与等式证明
三角函数求值与证明中的妙用主要是指利用sin2+cos2=1，tan=1，tan �cot=1，sec �cos=1，csc �sin=1，sec2tan2=1，csc2cot2=1等恒等式对“1”进行代换，使问题解决.
例1已知sin=2cos，求及sin2+2sincos的值.
解法1由题意， == = . 因为sin=2cos，又sin2+cos2=1，解得sin= ，cos= 或sin= ，cos=，代入得sin2+2sincos= .
点评利用同角三角函数关系列出二元二次方程组，解得sin，cos的值，带入求值.
解法2因为sin=2cos，所以tan=2，所以 ===，sin2+2sincos=== = .
点评①解法2所用到的技巧如下所示：分子、分母是正、余弦的一次（或二次）齐次式；②“1”的妙用，将1换为sin2+cos2；③应用化弦为切，整体带入求值.
例2求证： = .
证明可知左式== = tan+sec= 右式.
点评本题的解法有作差法、作商法、“1”的代换及等比定理的运用，基本解题思路为切割化弦.
例3求值：.
解原式==tan（45�75��tan120�.
点评由分子分母的结构形式，联想到两角和的正切公式，由1=tan，将结构变形为，从而求解.
二、1的代换用于多元函数的求最值和不等式证明
除了“天然”恒为1的式子，题目有时会给出恒为1的式子作为条件，对此要善加利用.
例4若x>0，y>0，z>0，且x+y+z=1，求函数=的最小值.
解因为x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，所以=・==≥=8，当且仅当x=y=z= 时，取到最小值8.
点评本题中的目标函数结构很有对称性，每一部分的处理方式都是相同的，利用x+y+z=1，换掉目标函数中的1，在尝试的过程中解题并总结经验.
例5已知a>0，b>0，且a+b=1，则的最小值为 ________.
解由于ab≤= ，所以= == ===1+≥1+8=9，当且仅当a=b=时等号成立，所以的最小值为9.
三、1的代换用于数列求和
例6求和：Sn=1��+2��+3��+…+n（n+1）・（n+2）.
解目标是裂项，使可相消，可对通项ak=k（k+1） （k+2）添上后一项k+3，减去前一项k1，但只有乘上“1”才不会使式子值发生变化，而1= [（k+3）（k1）]，于是ak=k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）[（k+3）（k1）]= k（k+1）（k+2）（k+3）（k1）k （k+1）（k+2），所以Sn= ��������+��������+…+n（n+1）（n+2）（n+3）（n1）n（n+1）（n+2）= n（n+1）（n+2）（n+3）.
四、1的代换用于向量式处理
例7设空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若点P满足向量关系=x+y+z（其中x+y+z=1），试问：P，A，B，C四点共面吗？
解由x+y+z=1（不妨设x≠0），可得x=1yz，则 =（1yz）++，所以 =y（）+z（），即=y+z.
由A，B，C三点不共线，可知和不共线，所以，，共面且具有公共起点A. 从而P，A，B，C四点共面.
思考如果将x+y+z=1整体代入,由（x+y+z）=x+y+z出发,你能得到什么结论?这一结论在客观题的处理上很方便.
五、1的代换用于直线方程确定
例8过点P（0，1）的直线与抛物线y2=2x交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM+kON=1，求直线l的方程.
解由于直线l过点P（0，1），可设其方程为x=ty+1，则1=xty，所以y2=2x1=2x（xty），则y2+2txy2x2=0.
又x≠0，故方程两边可以同时除以x2，得2+ 2t2=0，故kOM，kON是关于k的方程k2+2tk2=0的两根，所以2t=1，t=.
故直线l的方程为x=y+1，即2x+y2=0.
六、两个0的代换问题
例9在锐角△ABC中，求证：cosA+cosB+cosC ≤.
证明因为 =++ ，可以想到cosA+cosB +cosC=cosA+cosB+cosC+cos60�（添上一�项），和差化积，得cosA+cosB+cosC=2coscos+ 2coscos，于是有cosA+cosB+cosC ≤2=4cos60�cos，于是cosA+cosB+cosC≤2 = ，所以原不等式成立.
例10已知a，b，c，d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数，求证：+++≥.
证明待证式左边各项具有轮换对称性，可以先看其中一项. 目标是放缩时去掉分母上的字母，由尝试可发现 = +≥a2= ≥.
同理，≥，≥，≥.
以上不等式两边相加，整理可得+++≥（a2+b2+c2+d2）.
又因为（a2+b2+c2+d2）≥（ab+bc+cd+da）= ，所以+++≥成立.
七、一个1和0一起的代换问题
例11已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，求证：++≥.
证明将1用a2b2c2代换，即有原不等式等价于++≥.
目标是放缩时去掉分母上的字母，可想到= +≥bc = . 同理，≥，≥.
以上不等式两边相加，整理可得++≥≥ = ，所以原不等式成立.
总之，常数代换并不神奇，它本质上是以退为进，常数是一个化简后的形式，而它化简前的形式，不清楚，有多种可能. 先想到去代换常数，变简为繁，再想用什么样的式子去代换常数，目标只有一个：解决问题.
1. 已知tan=2，求的值.
2. 已知tan=3，求sincos的值.
3. 化简：.
4. 设x，y，z均为正实数，且x+y+z=1，求++的最小值.
5. 已知x>0，y>0，且x+2y=1，求+的最小值.
6. 已知，，均为锐角，且满足cos2+cos2+cos2 =1，求证：++≥.
7. 已知a，b，c均为正实数，求证：++≥a+b+c.
8. 已知a，b，c均为正实数，求证：++≥.
1. .2. .3. 1.4. 36.5. 9.
6.= +≥3，同理相加即可.
7.= +bb≥2ab，同理相加即可.
8.= +≥a2，同理相加即可.