f(x)=klog/a/x是对数函数吗?_已知对数函数f(x)

  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089(2012)04-0064-02  《赢在45分钟》教辅书给出,判断一个函数为对数函数的条件是:(1)对数符号前的系数为1 (2)底数为大于0且不等于1的常数 (3)真数为单个自变量。并且举例说函数 不是对函数。因为 的前面的系数是2,而不是1。
  志鸿系列从书《高中优秀教案》(必修1)中举例:
  像 等函数,它们是由对数函数变化而得到的,都不是对数函数。即该书也不认为 是对数函数。
  那么, 真不是对数函数吗?
  我认为 是对数函数。理由如下:
  一、对数函数是指数函数的反函数
  《赢在45分钟》和《高中优秀教案》均承认 这样的函数为指数函数。由 。所以 的反函数为 。人教A版必修1《数学》教材中已明确指出对数函数 和指数函数 互为反函数。既然承认 为指数函数,为什么又不承认 是对数函数呢?
  况且 和 (a>0且a≠1)分别可化为 和 完全符合条件:(1)系数为1,(2)底数为大于0且不等于1的常数,(3)真数为单个自变量。没有理由不承认它们是对数函数。《赢在45分钟》和《高中优秀教案》不承认 是对数函数,就不应该承认 是指数函数。他们这不是自己搬石头砸自己的脚吗?
  二、"满足 的函数是对数函数
  笔者在文《对指数函数中两处流行错误的辨析》中,补充了指数函数的另一个定义:指数函数是指定义于 ,满足条件 的连续函数(高希尧编《数学术语详解词典》)。文认为 满足上述条件但不是指数函数。将定义更改为:指数函数就是定义于 ,满足条件 的单调函数。
  仿文笔者试给出对数函数的第二定义:对数函数就是定义于 ,满足条件 的单调函数。以 为例说明
  
  不是对数函数。
  而 2
  
  是对数函数。
  三、不光看"形似",更要看"神似"
  形如 (a>0且a≠1)的函数叫对数函数。这里的条件:(1)系数为1,(2)底数为大于0且不等于1的常数,(3)真数为单个自变量x。这只是对数函数的"貌"而非对数函数的"神"。即只要转化后具备(1)、(2)、(3)三个条件就是对数函数。
  ∵ (a>0且a≠1)
  = (已形似)
  ∴ 是对数函数。
  罗增儒教授认为根据指数函数的定义,只要定义域为全体实数,对应关系能表达为指数形式 的函数就是指数函数。显然罗教授采用的也是转化后形似的方法,也就是不只看"形似"更要看"神似"。
  仿罗教授的这段话,我们可得到:只要定义域为 ,对应关系能表达为对数形式 的函数就是对数函数。所以,我们在判断一个函数是否为对数函数时千万别再以"貌"取"人"!
  以上三点均可说明 是对数函数。
  参考文献:
  1.朱勇.一个定义的瑕疵.中学数学教学,2009,5(28)
  2.祝世清.对指数函数中两处流行错误的辨析.中学数学教学,2008,5(24)
  3.罗增儒. 是指数函数吗.中学数学教学,2011,1(12)

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