摘 要： 本文探究当单摆摆角大于5°时，若仍视作简谐振动处理取角频率ω≈的方法，得到单摆周期受振幅影响的关系式，与采用机械能守恒定律推导的结果列表比较两种方法在各种摆角情况下产生的误差，供相关实验时参考。
关键词： 单摆周期 简谐振动 振幅 最大误差
1.引言
在用单摆测重力加速度的实验中，误差主要源于以下几个方面：（1）摆长测量不准确，主要是没有考虑到摆球大小的影响，实验中摆长应为悬点到摆球球心的距离。（2）周期测量不准确，主要是摆动的次数记录有偏差。（3）实验中摆角不超过5°，前两个方面在实验中一般都容易注意到，但要求摆角不超过5°往往容易被忽略，且不容易做到，特别是摆长较短时是很难做到的。但是只有在振幅很小时，单摆的振动才可以看作是简谐振动，它的周期是T=2π。振幅的大小究竟在多大程度上影响单摆振动的性质，下面用两种方法进行相关推导和计算。
2.应用机械守恒定律
设单摆的摆球处于最低点时势能为零，偏角为φ时摆球上升的高度为y=l（1-cosφ），摆的总机械能
E=E+E=mv+mgy=ml（）+mgl（1-cosφ）
摆球达到最大偏角φ时，=0，所以
E=mgl（1-cosφ）
能量方程变为
ml（）+mgl（1-cosφ）=mgl（1-cosφ）
由此得
=
和=・dt
由cosφ-cosφ=2（sin-sin）
上式可以写作
=・dt
令k=sin，sinu=，上面的积分化为
=・dt
式中t的积分限为0―时，u的积分限为0―，即
=・dt=・
由此得
T=4・・
=4・・（1+ksinu+ksinu+…）du
=2π・・（1+sin+…）
根据这个公式可以计算出振幅φ对单摆周期影响，如表1所示。
3.仍视为简谐振动处理，计算T的近似值。
设单摆的最大角位移为θ，对于任意角位移θ（0≤θ≤θ），由牛顿第二定律有
ma=ml・=-mgsinθ
ma=ml・=F-mgcosθ
得=-sinθ
此式不是简谐振动方程，但θ＜5°时，sinθ≈θ有
=-θ
此式为简谐振动方程，故可把单摆看作简谐振动，且有
ω＝T=2π・
当θ＞5°，单摆的振动不是简谐振动，我们对振动方程作如下处理；
=-・・θ
若此方程仍视为简谐振动方程，则ω=，由于＜１，ω将随θ的增大而减小，又因为θ≤θ，ω≤，故振幅对周期的影响将不超过下面公式计算的结果。
T′=2π・・
根据这个公式可以计算出振幅θ对单摆周期影响，如表2所示。
4.结果分析
从以上列表可以看出单摆的周期并不是等时的，它随着振幅的增大而增大，只有在振幅很小时才可以认为单摆做的是简谐振动。若仍视为简谐振动处理，当振幅达到60°时，周期的偏差将达到近10%，两种方法计算偏差小于3%。第二种计算方法虽然不如第一种计算方法严密准确，但由于推导和计算简单易于理解，在中学物理实验中也不妨作为参考。
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