摘要:本文讨论最远点及最近点位置的准确数值计算、最远距离及最近距离的准确数值计算问题。 关键词: 点;椭圆;距离 中图分类号:G633 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)09-0069-02
一、面对的问题
设:在坐标系OXZ中,椭圆T的方程为:
+ =1,aTU=TP,所以此时的TP是所求的最小值。
当点T在椭圆内部时,如果除了点P以外,所有圆上的点都在椭圆内部,另取椭圆上一点Q,TQ与圆相交于点U,则必然TQ>TU=TP,所以此时的TP是所求的最小值。如果点P关于点T的对称点Q也在椭圆上(可以证明满足这个条件的点T一定是椭圆的中心),除上述两点任何圆上的点都在椭圆内部,则点P和Q都是所求的最小值的点,证明方法与前面的类似。
(2)当椭圆上的点除点P外所有点都在圆内部时,TP就是所求的最大值。
如果点P关于点T的对称点Q也在椭圆上(可以证明满足这个条件的点T一定是椭圆的中心),除上述两点任何椭圆上的点都在圆内部,则点P和Q都是所求的最大值的点。证明方法类似于(1)。
由于满足(1)、(2)里所列条件的除了点P、T重合外的TP一定是圆的半径,所以TP一定垂直于过点P圆的切线,所以所求最值的点P与点T的连线一定与过点P的椭圆的切线垂直,此时TP就是过点P椭圆的法线。
三、函数极值分析方法
设:点H(x,z)为椭圆T上的任意一点。D为H点与E点的距离,则:
D= (2)
= (3)
令 =0,在考虑 的存在性后得到:H点可能是离E点最远或最近的点其坐标x应满足如下方程:
x4+U3x3+U2x2+U1x+U0=0 (4)
其中:
U0= Ex2
U1= Ex (5)
U2= a2Ex2+b2Ez2-(b2-a2)2
U3= Ex
用配方法求解(4),先计算判别数P0:
P0=( )3-( )U2+U1 (6)
区分P0=0及P0≠0两种情况:
1. 当P0=0及P0≠0(必须有Ex=0)时
1) 若:Ex> ,则:(0,b)及(0,-b)两点中,一个为最远点Fa,另一个为最近点Ji
2) 若:Ex 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文