摘要:定义是解决问题的“根”与“源”,深刻理解椭圆的定义,并在解题中能灵活应用,可以简化我们的解题过程,达到事半功倍的效果。 关键词:椭圆、定义、应用
学习数学离不开数学定义的学习,而数学中的定义反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,对它们理解正确与否,会直接影响到数学公式、法则、定理的学习。椭圆学习过程中,我们学习了椭圆的第一定义和第二定义。
椭圆第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。
椭圆第二定义:到一定点与一定直线的距离之比等于定值(这个定值小于1)的点的集合为一椭圆(平面内到定点与到定直线的距离的比是常数e(e>0)的点的轨迹,当0BC。故重心G的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去与直线BC的两个交点)。其方程为■+■=1(y≠0)。
点评:本题综合考察了椭圆的定义、重心的性质等知识。利用椭圆的定义求动点的轨迹是求轨迹问题中常用的解题方法。
三、求焦点三角形的面积
例3:已知:P点为椭圆■+■=1
上的点,F■,F■是椭圆的两个焦点,∠F■PF■=60°,求△F■PF■的面积。
解:在椭圆■+■=1中,∵a=5,b=3∴c=4
∵点P在椭圆上,
∴|PF■|+|PF■|=10 (1)
在△F■PF■中,由余弦定理得:
|PF■|■+|PF■|■-2|PF■||PF■|cos60°=64 (2)
(1)■-(2)得|PF■||PF■|=12,
∴S■=■|PF■||PF■|sin60°
=■×12×■=3■
点评:关于椭圆中的焦点三角形问题,常常用椭圆的定义,结合三角形中的正弦定理、余弦定理等来解决,本题中把|PF■||PF■|作为一个整体来求,减少了运算量,这种整体求解,整体代入的方法值得我们认真体会。
四、求离心率
例4、已知P是椭圆■+■=1(a>b>0)
上任意一点,F■,F■是两个焦点,若
∠PF■F■=α,∠PF■F■=β求e。
解:△PF■F■中,由正弦定理有■=■=■?坜■
=■?坜e=■=■
五、判断方程表示的曲线
例5、已知■=■|x+y-2|,x∈R,y∈R试判断点M的轨迹是怎样的曲线。
分析:如果将原方程平方,化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线,注意式子结构的特点,左边可看成点M到点(2,0)的距离,从而可联想右边可化为点M到直线x+y-2=0的距离,即有■=■,由此联想到椭圆的第二定义就很简单的求出点M的轨迹是椭圆。
六、求参数的取值范围
例6、(2004年高考,全国卷Ⅲ)设椭圆
■+y■=1的两个焦点是F■(-c,0),F■(c,0),(c>0)且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直,求m的取值范围。
解:由题意知m>0,a=■,b=1,c=■,且|PF■|■+|PF■|■=|F■F■|■=4c■,|PF■|+|PF■|=2a,由两式可得,|PF■|・|PF■|=2a■-2c■=2b■,又
|PF■|・|PF■|≤■)■=a■,
所以2b■≤a■,即2≤m+1,所以m≥1
作者单位:
山西电子高级技工学校
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