F先生讨厌计算,总是用加减法取代乘除法。比如,计算: 1.0015×0.9989÷1.0023=? 他总是先求出各数比1大多少,或者比1小多少。如
1.0015=1+0.0015
0.9989=1-0.0011
1.0023=1+0.0023
然后,再按以下办法计算:
1.0015×0.9989÷1.0023
≈1+0.0015-0.0011-0.0023
=0.9981
正确的结果是0.998102713,F先生的计算结果相当接近。这是偶然的吗?
点拔:这是一种巧妙的计算,绝不是偷懒。
首先,我们来看以下乘法运算
(1+a)(1+b)=1+a+b+ab
如果a和b接近于0,则
(1+a)(1+b)≈1+a+b
就题目中的算式而言
1.0015×0.9989
=(1+0.0015)(1-0.0011)
≈1+0.0015-0.0011=1.0004
此时当然存在误差,其误差为
0.0015×(-0.0011)=-0.00000165
与1.0004相比,可以忽略。
同理,当c取值于-1和1之间时
=1-c+c2-c3+…
如果c接近于0,则
≈1-c
因此,若a、b、c均接近0,则
(1+a)(1+b)(1-c)≈1+a+b-c
从上式可得
1.0015×0.9989÷1.0023
=
≈(1+0.0015)(1-0.0011)(1-0.0023)
≈0.9981
所以,题目中的近似计算在理论上也是正确的。
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