双曲线的基本知识是高考考查的重点和热点，考查中常常涉及双曲线的基本量a、b、c、e之间的关系，特别是双曲线的离心率，能够综合考查多方面的知识，体现双曲线的解题技巧与方法。怎样求解离心率？本文提出以下几种解法。
一、利用双曲线的定义求解
例1：设F、F为双曲线-=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，以FF为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另外两边，则双曲线的离心率是多少？
解：如图1，在正△PFF中，由题意知M为PF的中点，故MF=c，MF=c.由于MF-MF=2a，故c-c=2a，e==+1.
评注：一般在焦点三角形中经常利用双曲线的定义寻求离心率的关系。
二、利用双曲线中的隐含的约束条件求解
例2：已知F、F为双曲线-=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，点P在双曲线的右支上，且PF=4PF，则双曲线的离心率的范围为多少？
解：∵PF=4PF，又PF-PF=2a，
∴PF=.
又PF≥c-a，
∴≥c-a，
∴1＜e≤.
评注：由于P在双曲线的右支上，所以满足PF≥c-a，从而得到a、c满足的不等关系，求解出e的范围。
三、利用平面几何关系求解
例3：如图2，F、M分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点和右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是多少？
解：由题意知△ABM为等腰三角形，故只需∠AMB为锐角即可，只需∠AMF＜，
∴AF＜FM，
∴＜a+c，
∴b＜a+ac，
∴c-a＜a+ac，
∴c-ac-2a＜0，
∴e-e-2＜0，
∴-1＜e＜2.
又e＞1，
∴1＜e＜2.
评注：根据平面几何的相关内容得出a、b、c满足的关系，从而得出e满足的关系式。
四、利用渐近线求解
例4：设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±x，则该双曲线的离心率是多少？
解：由题意知=，
∴a=2b，c=b，
∴e==.
五、利用判别式求解
例5：设双曲线-y=1（a＞0）与直线l∶x+y=1相交与两个不同的点A、B，求双曲线的离心率的取值范围？
解：由-y=1x+y=1得(1-a)x+2ax-2a=0
∵双曲线与直线有两个不同的交点，
∴1-a≠0Δ=4a+8a(1-a)＞0，
∴0＜a＜2，且a≠1，
∵e===1+＞，且e≠2，
∴e＞，且e≠.
评注：遇到直线与双曲线关系问题，一般把直线方程与双曲线方程联立，消去y得关于x的方程，利用该方程有实根，可求出某些字母的取值范围，从而得到e的取值范围。
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