摘 要: 本文通过对导数在研究函数的单调性、极值,以及函数不等式中的应用进行分析,拓展了数学解题方法的研究领域,开辟了许多新的解题途径,加深了学生对函数及其性质的理解和直观认识。文中还提出了利用导数解数学问题可以采用创造性思维、联想思维及化归思维等几个主要的思维策略。
关键词: 导数 单调函数 不等式 思维策略
在数学教学中,教师充分利用导数解决数学问题,可以加强对学生的辩证思维教育,使学生能以导数为工具研究函数的变化率,为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简洁的手段,加深对函数及其性质的理解和直观认识。因此,如何培养学生在解决数学问题时能充分运用导数的思维能力是导数教学的核心。我首先通过一些具体的实例来说明导数在解决数学问题中的巧妙应用,然后在此基础上提出了利用导数解数学问题的几个主要思维策略。
一、导数在数学解题中的一些应用
1.导数在研究函数单调性中的应用。
例1:求函数f(x)=xe的单调区间,其中a∈R。
注意到f(x)中含有超越函数e,并且参数a是未知的。因此,如果仅仅利用函数的定义,该问题很难解决。下面利用导数的方法,就使得该问题变得十分简单。
解:简单计算可知f(x)的导数为f′(x)=2xe+axe=(2x+ax)e。
(1)当a=0时,若x0,则f′(x)>0。另外注意到f(x)在x=0点连续,所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数。
(2)当a>0时,由2x+ax>0,解得x0时,函数f(x)在区间(-∞,-)内为增函数,在区间[-,1)内为减函数,在区间[0,+∞)内为增函数。
(3)当a0,解得0-。又函数f(x)在x=0处连续,所以当a0,进而得f(x)在区间(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数。若x∈(-1,1)则f′(x)0,进而可得F(x)在(a,+∞)内为增函数。综上可知,当x=a时,F(x)有极小值F(a)。
另外注意到F(a)=0,b>a,F(b)>0,即有00时G′(x)a,所以有G(b) 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文