用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面(section),我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是通过X射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT影像诊断技术”――在医学史上具有划时代意义。可见,数学知识对于生活何等重要。初中生一定要学好这部分,以便将来运用它更好地为生活服务。
下面我针对几种常见而又重要的几何体的截面进行分析,并辅以适当的习题,供同学们学习时参考。
1.正方体的截面分类
正方体有六个面,用一个平面去截正方体,至少要经过三个面,最多经过六个面。所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形。
(1)截面是三角形。用一平面截正方体,当平面经过从同一点发出的三条棱,即经过正方体的三个面时,所得的截面的形状是锐角三角形(这一点可用高中数学线面角的知识进行证明,此略),包括一般锐角三角形,也可以是特殊的锐角三角形,如等腰三角形、等边三角形,但不可能是直角和钝角三角形。
(2)截面是四边形。用一个平面截正方体,当平面恰好经过正方体的四个面时,所得截面是四边形,其中可能是普通的平形四边形,或正方形、长方形、菱形和梯形(但不可能是直角梯形,证明略)。
①用平行于正方体任何一个面的平面去截正方体时,得到的截面是正方形。
②如图1、图2所示方式切截时,得到的截面是长方形。
③如图3的方式所得截面为梯形。
(3)截面是五边形。用平面截正方体,当平面不经过一个面(或者只经过这平面上的一个顶点),即只经过正方体的五个面时,所得截面是五边形(必有两组分别平行的边,因为一个平面与两平行平面分别相交,两条交线必平行),不可能有任何一个角是直角(证明略)。如图4。
(4)截面是六边形。用平面截正方体,当平面经过正方体的六个面时,所得截面是六边形(特殊的,当截面与正方体各棱的交点为棱的中点时,截面是正六边形)。
思考:用一个平面截正方体,所得的截面可不可以是正五边形呢?
小结:1.截面可以是锐角三角形、等边三角形、等腰三角形、一般三角形;但不可以是直角三角形、钝角三角形。
2.截面可以是四边形:一般平行四边形、长方形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形(注意:四边形中至少有一组对边平行,且不可以是直角梯形)。
3.截面可以是五边形:截面五边形不可能是正五边形。(证明略)
4.截面可以是六边形:截面六边形的特点是三组对边分别平行,可以是正六边形。
由于正方体共有六个面,所以截面不可能是七边形。
长方体的截面和正方体的截面可以依次类比联想,分类情况相同。
练习1.用一个平面去截正方体,则截面形状不可能是( )。
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
2.圆柱体的截面分类
(1)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,截面为圆形。
(2)长方形。当截面与圆柱体的底面垂直时,截面为长方形,特殊情况下截面形状为正方形。
(3)类似于梯形但不是梯形。当截面与上下两底面的交线长不相等时,截面类似于梯形,但截面在圆柱侧面上留下的痕迹不是线段而是曲线段,所以不是梯形的两腰,如图5。
(4)椭圆形。当截面与圆柱的底面成一锐角时,截面为椭圆形或椭圆形的一部分(当截面需要延伸才能与底面相交时)。
练习2.用一个平面去截圆柱,则截面形状不可能是( )。
A.圆B.正方形C.长方形D.梯形E.三角形F.椭圆
3.圆锥体的截面
(1)三角形。当截面经过圆锥体的顶点时,截面是三角形。
(2)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,截面为圆形。
(3)椭圆形。这出现在圆锥和平面的交截线是闭合曲线的时候。这时平面既不垂直也不平行于圆锥的轴线,如图6。
(4)抛物面。如果平面平行于圆锥的母线,则截面为抛物面,截面边缘是一段曲线(称为抛物线)和一直线段围成的封闭图形,如图7。
(5)当截面去截两个对顶的圆锥且截面平行于圆锥的轴线时,截面为双曲面,截一个圆锥就是半双曲面,如图8。
因此,椭圆、抛物线、双曲线被统称为圆锥曲线。
练习3.用不同平面去截一个圆锥体,得到的截面不可能是()。
A.圆 B.三角形 C.抛物面 D.椭圆 E.矩形
4.球的截面
球的截面是一些大小不等的圆。
练习4.截面是圆的是哪种几何图形?( )。
A.圆锥 B.球体 C.圆柱 D.ABC都有可能
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