三角形的内角和及外角对于求角度的问题可以说是必要的工具，但有时我们可以由这些来推导一些特殊的关系，利用这些关系就可以使一些问题的解决变得很简单.下面，我就来介绍一些特殊的应用.
一、“塔形”
如图所示的“ ”字形，我们可称其为“塔形”，其存在一个等式关系：∠1+∠2=∠3+∠4，∵由三角形内角和知，∠5+∠1+∠2=180°，∠5+∠3+∠4=180°，∴可知∠1+∠2=∠3+∠4.这种类型的应用在求有关角度时可以使解题过程更加便捷.
例1：如图，已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：DE//BC.
证明：因为∠1+∠2=∠3+∠4（证明过程如上），又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以可知∠1=∠3，所以DE//BC（同位角相等，两直线平行）.
例2：图同上，已知，∠3=50°，∠4=60°，求∠BDE+∠CED的度数.
解：∠BDE与∠1互补，∠CED与∠2互补，∴∠BDE+∠CED=（180°-∠1）+（180°-∠2）=360°-（∠1+∠2），∵∠1+∠2=∠3+∠4=110°，∴∠BDE+∠CED=360°-110°=250°.
二、“8”字形
如下图所示的“ ”字形，其也存在着一个等式关系：∠1+∠2＝∠3+∠4.∵由三角形内角和知，∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6=180°，又∵∠5=∠6（对顶角相等），∴∠1+∠2＝∠3+∠4.
例3：如下图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=45°，则∠D的度数为（）
（A）45°（B）55°
（C）65°（D）35°
解：∵∠A+∠B=∠D+∠C，∠B=∠C，∴∠D=∠A，即得结论.故选A.
例4：如下图，△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D.若∠1=24°，则∠EAB等于（）
（A）66°（B）33°
（C）24°（D）12°
解：由8字形的特征可知，∠1+∠D=∠CAE+∠C，∵∠C=∠D，∴∠1=∠CAE.又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB，∴∠EAB=∠1=24°.故选C.
说明：在以上两种类型中，都是利用“若两个三角形有一组内角相等（或为公共角），则这两个三角形的其余内角的和相等”，这是三角形内角和的一种推广和应用.
除此之外，三角形外角也有着一些特殊的应用.
三、“尖顶形”
如图1所示，其也存在着如下等式：∠D=∠A+∠B+∠C，其证明过程如下：连接AD并延长到E，∵∠BDE是△ABD的外角，∴∠BDE=∠B+∠BAD，同理，∠CDE=∠C+∠CAE，又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE=（∠B+∠BAD）+（∠C+∠CAE）=∠A+∠B+∠C，结论得证.
例5：（2008年吉林省吉林市中考）如图，点D、B、C在同一直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=度.
解：由尖顶形特征可知，∠AED=∠A+∠C+∠D=135°，而∠1与∠AED互补，∴∠1=180°-∠AED=45°.
例6：如下图，若P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，求∠BPC-∠A的值.
解：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A+∠B+∠C=90°，
则∠A=90°-∠B-∠C.
又因为BP，CP分别是∠B和∠C的角平分线，
所以有∠B=∠ABP，∠C=∠ACP，
所以∠A=90°-∠ABP-∠ACP.
又可知∠BPC=∠ABP+∠A+∠ACP（证明过程如上），
所以∠BPC-∠A=（∠ABP+∠A+∠ACP）-（90°-∠ABP-∠ACP）
=2∠ABP+2∠ACP+∠A-90°=∠B+∠C+∠A-90°
=180°-90°=90°.
说明：在此题的解题中还用到了三角形内角和公式的一个变形，∠A+∠B+∠C=90°，这在解决三角形有关角的问题时会有很大的帮助，希望同学们能学会使用.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文