摘 要： 为了研究平面自治系统的轨线在全平面上的分布情况，本文通过考察有限远奇点、无限远奇点、闭轨来进行该非线性系统轨线的全局结构分析. 关键词： 奇点 闭轨 Poincare′变换
分析系统
=x（x+by+1）?勖P（x，y）=y（x+by-b）?勖Q（x，y）（b＞0）（1）
的轨线的全局结构.
解：1.分析有限远奇点，解方程组
x（x+by+1）=0y（x+by-b）=0
可得有限远奇点为O（0，0），E（0，1），E（-1，0）.
对应于奇点O（0，0）的特征方程为λ+（b-1）λ-b=0，特征根λ=1，λ=-b＜0，O（0，0）是鞍点.
对应于奇点E（0，1），有
=b+1，=0，
=1，=b.
特征方程为b+1-λ 01 b-λ=（b+1-λ）（b-λ）=0，特征根λ=b+1，λ=b.E（0，1）是不稳定结点.
对应于奇点E（-1，0），有
=-1，=-b，
=0，=-1-b.
特征方程为-1-λ -b0 -1-b-λ=（-1-λ）（-1-b-λ）=0，特征根λ=-1，λ=-b-1.
E（-1，0）是稳定结点.
2.讨论闭轨，由于x=0，y=0都是解，奇点A（0，0），A（0，1），A（-1，0）分别落在这两条直线上，故方程组（1）无闭轨线.
3.讨论无穷远奇点.
（�）作Poincare′变换
u=，z=，
将系统（1）化成
=-u-bz=-bu-z-1（2）
（�）求无穷远奇点并判断其类型，方程组（2）在z=0上无奇点.
（�）在vOz平面上补充讨论，令
v=，z=，
（1）变为
=（1+b）v=-v+bz-b
（0，0）显然不是此系统的奇点.所以此系统不存在无穷远奇点.
参考文献：
［1］马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法［M］.北京：科学出版社，2001.
［2］张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜.微分方程定性理论［M］.北京：科学出版社，1985.
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